1. En el inicio, Johnny dijo: “Sea $\Phi$ el conjunto vacío”. En el inicio, margittai Neumann János Lajos"Margittai" es un título nobiliario húngaro que significa "de la ciudad de Margitta"; la costumbre húngara es escribir el apellido primero, seguido por los nombres. no era Johnny, eso vino después.
2. El inicio de la carrera creadora de Neumann Jancsi está caracterizado por una parsimonia sobreabundante; suena paradójico, lo cual es apropiado, pues, en 1923, Jancsi se enfrentaba a la paradoja de CervantesAsí la llaman tanto Church como Godement. (en el capítulo LI de la parte II del Quijote leemos):
Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna”. Sabida esta ley y la rigurosa condición della, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que, tomando juramento a un hombre, juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa.
Viajero incomodo: si lo ahorcas dijo la verdad y, viceversa. Jancsi decidió prohibir para siempre a los viajeros hablar de la horca.
3. La teoría de conjuntos le fue otorgada a Georg Cantor por revelación divina: el motto a su última publicación en 1895 viene de la primera carta a los Corintios y diceDauben, J. W. (1989). Georg Cantor: The Battle for Transfinite Set Theory. American Mathematical Society.:
Así que, no juzguéis nada antes de tiempo, hasta que venga el Señor, el cual aclarará también lo oculto de las tinieblas.
(1 Corintios 4:5, Reyna Valera)
Cantor parece convencido de que su teoría de conjuntos ni es suya, sino divina, ni es posible ignorarla por siempre: tarde o temprano será reconocida. Como sabemos, Cantor tuvo razón.
4. La definición de Cantor de conjunto es, acaso, demasiado generosa:
Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenf assung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Manin observa la autorreferencia en el origen de la teoría de conjuntos, lo cual es permitido por la sintaxis alemana: el Zusammenf es el paréntesis abierto; el zu einem Ganzen es el paréntesis que cierra la oración; oración que refleja la estructura de su propio significado. Como muchas cosas en la vida parece ser que la mismísima incepción de la teoría de conjuntos lleva la semilla de su descontento.
5. El invierno del descontento de la teoría de conjuntos comenzó en mayo de 1901. Parafraseando a Cervantes, Russell considera el conjunto $X$ compuesto por todos los conjuntos $Y$ que no son elementos de sí mismos. Si $X$ es elemento de sí mismo no lo es, y viceversa. ¿Debemos ahorcar a $X$? La autorreferencia parece poner en peligro para siempre el centro mismo de la teoría de Cantor.
6. No fue sino hasta 1908 que tanto Russell como Zermelo proponen soluciones: el primero con la teoría de los tipos; el segundo, con la teoría de Zermelo de conjuntos. Esta segunda teoría evolucionó hacía 1922 en los axiomas de Zermelo-Fraenkel (con el axioma de elección ZFC que la mayoría de los matemáticos actuales consideran los fundamentos estándar de las matemáticas contemporáneas).
El objetivo de los axiomas de ZFC es que cada axioma debe ser cierto si se interpreta como un enunciado que habla de la colección de todos los conjuntos que habitan en la llamada jerarquía cumulativa.
La jerarquía cumulativa tiene otro nombre: el universo de Von Neumann.
7. A Johnny le encantaba contar una historia (en distintas versiones) que escuchó alguna vez de Ulam: un niño judío del campo, Moyshe Wasserpiss, emigró a Viena donde, después de convertirse en un exitoso empresario, cambió de nombre a Herr Wasserstrahl y, después a von Wasserstrahl. Años más tarde, en París, se le conoció como el barón Maurice de la Fontaine.
8. Todavía usamos la definición de ordinal publicada en alemán por el húngaro Johannes von Neumann cuando tenía 20 años.
Para cantidades finitas, el cardinal de un conjunto (su número de elementos) y su ordinal (su tipo de orden, donde se consideran sólo buenos órdenes) tienen la misma información. Pero, para conjuntos infinitos, esto no es verdad. Por ejemplo, consideremos los números naturales con dos órdenes distintos:
De hecho, para el cardinal infinito más pequeño, tenemos una cantidad no numerable de tipos ordinales: $$\omega, \omega + 1, \omega + 2,\ldots, \omega\cdot 2, \omega\cdot 2 + 1, \ldots, \omega^2, \ldots, \omega^3, \ldots, \omega^\omega, \ldots, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \varepsilon_0,\ldots.$$ Es decir, hay muchísimas maneras de ordenar los números naturales, todas diferentes. Lo verdaderamente importante de considerar ordinales es que permiten hacer inducción. Otra bella revelación otorgada a Cantor: la inducción transfinita.
9. En 1913 en vísperas de la guerra, Max Neumann, un importante banquero de Budapest con un hijo de 10 años con el que gustaba de intercambiar bromas en griego clásico, compró un título nobiliario pero no cambió su nombre. Su hijo usó desde entonces la forma alemana convirtiéndose en Johannes von Neumann.
Jancsi creció en la ciudad y la era que produjeron a Leo Szilard (1898), Eugene Wigner (1902) y Edward Teller (1908): Budapest.
Tanto Max como su padre escribieron comentarios rabínicos sobre dogma. Cuando Jancsi tenía 17 años quiso estudiar matemáticas y, Max le pidió a von Kármán que lo convenciera de que sería imposible ganarse la vida de esa manera. Von Kármán logró un compromiso aceptable: que el chico estudiara química. Así que, mientras estudiaba química en Zurich (donde conoció a Weyl y a Polya), regresaba al final de cada semestre a presentar sus exámenes de matemáticas en Budapest. En 1926, Johannes obtuvo su diploma en ingeniería química en Zurich, y su doctorado en matemáticas en Budapest.
10. La idea de Johannes es elegante y sencillísima, como solían ser sus ideas: Comencemos por el conjunto vacío y, por medio de la inducción transfinita, construyamos todos los conjuntos posibles: comencemos por el conjunto vacío $V_0$. El conjunto que sigue $V_{\beta+1}$ es el conjunto que contiene todos los subconjuntos del conjunto anterior $V_\beta$. Cuando nos encontremos con un ordinal límite $\lambda$, definimos $V_\lambda$ como la unión de todos los conjuntos anteriores. La jerarquía total, el universo de von Neumann V, es la unión de todos los $V_\lambda$. Así, $V_0$ es el conjunto vacío, $\{\}$; $V_1$ es el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, $\{\{\}\}$; el que le sigue es $\{\{\},\{\{\}\}\}$, etc. La jerarquía cumulativa tiene un conjunto $V_\alpha$ por cada ordinal $\alpha$.
El universo de von Neumann se llama V y, aunque quiere, no logra ser el conjunto de todos los conjuntos. La V no proviene de la $v$ del título nobiliario von sino de la palabra verumQue significa “cierto” en latín.. Neguemos verum, digamos von.
El universo de von Neumann V es el escenario donde las batallas de la matemáticas del siglo XX fueron libradas. Desde luego, habría que esperar al otoño de 1930 para que V recibiera un golpe casi mortal.
11. La guerra —las dos guerras— y el shoah marcaron para siempre al hijo de Max. Klára (la segunda esposa de Johnny) recuerda que el odio que tenía Johnny contra los nazis era “esencialmente infinito”.
Hacía el fin de su carrera (Fortune Magazine, 1955) John von Neumann, miembro de la Comisión para la Energía Atómica de EUA, escribiría: “`The great globe itself´ is in a rapidly maturing crisis [...] The crisis was developing visibly in the 1940´s and some phases can be traced back to 1914.” La autorreferencia es posiblemente involuntaria. Pues 1914 cambió la vida del niño Jancsi quien, cuando adulto, contribuyera fundamentalmente a la creación de la crisis planetaria a la que aduce él mismo (Borges no diría “él mismo”; diría “el otro”). El artículo donde leemos esto se titula “Can We Survive Technology?”. Ahí mismo, John nos dice:
For the kind of explosives that man will be able to contrive by 1980, the globe is dangerously small, its political units dangerously unstable.
Esta crisis hoy por hoy nos amenaza sin una solución satisfactoria clara.
12. Cuando Johannes arribó a Nueva York junto con su amigo Wigner Jenö en febrero de 1930 se sintió inmediatamente norteamericano y ambos acordaron que deberían volverse algo americanos, que desde ese momento él se llamaría “Johnny”, en tanto Wigner se haría llamar “Eugene”.
13. El 7 de octubre de 1930, en Koningsberg, un platonista desconocido, callado y parsimonioso dio una conferencia legendaria que todos ignoraron. Un estudiante doctoral dio una corta conferencia en donde anunció que tenía una demostración de la incompletitud de la aritmética, anuncio que fue ignorado por casi todo el mundo, salvo por Johnny.
14. Johnny era un hombre de contradicciones que peleó a muerte contra famosas contradicciones. Contradicciones en lógica, en los fundamentos de la mecánica cuántica.
Johnny fue el matemático mejor vestido de su época: cuando presentó su examen doctoral, Hilbert hizo sólo una pregunta: “En todos mis años nunca había visto ropas de vestir tan hermosas; díganme, ¿quién es el sastre del candidato?”. Paul Halmos describió a Johnny como un matemático que vestía como un banquero.
Von Neumann persiguió apasionadamente las matemáticas aplicadas durante su vida (publicó mas artículos en temas aplicados que en matemáticas puras), y fue un hombre que dirigió exitósamente equipos de físicos e ingenieros para hacer que máquinas formidables, extraídas de la imaginación mas fértil, funcionaran en la práctica: la computadora electrónica, la bomba atómica, la bomba H.
Leyendo los Collected works de Johnny von Neumann, uno se encuentra con un artículo deslumbrante llamado “Theory of Shock Waves” donde se aplican los invariantes de Riemann al estudio de cuestiones generales de dinámica gaseosa “todas relacionadas con la teoría de las explosiones y la transmisión de sus impactos”.
15. Hacía 1948, poco después de la guerra, Johnny escribióHeywood, R. B., Adler, M. J. (1948). The works of the mind. Chicago: University of Chicago Press. algo que nos recuerda el “no hay lugar permanente para las matemáticas feas” de Hardy:
I think that it is a relatively good approximation to truth – which is much too complicated to allow anything but approximations – that mathematical ideas originate in empirics, although the genealogy is sometimes long and obscure. But, once they are so conceived, the subject begins to live a peculiar life of its own and is better compared to a creative one, governed by almost entirely aesthetical motivations, than to anything else [...].
Johnny, que en 1933 usó el penetrante resultado de Haar sobre medidas en grupos topológicos para resolver el quinto problema de Hilbert en su versión compacta (un grupo compacto localmente euclidiano es un grupo de Lie), algo sabía de los placeres estéticos de la matemática.
16. Kurt Friedrich Gödel publicó sus dos teoremas de incompletitud en 1931: el primero dice metafóricamente que hay verdades matemáticas indemostrables; el segundo, que demostrar la consistencia de la matemática es imposible. Johnny había tenido intimaciones de tales verdades que no logró descubrir.
El 29 de septiembre de 1929, Johnny escribía una carta tratando de ayudar a Gödel a recibir una visa norteamericana:
Puede asegurarse con perfecta justificación que Gödel es irremplazable para nuestro programa educativo. Ciertamente, Gödel es absolutamente irremplazable; él es el único matemático vivo del cual me atrevería a decir esto.
El 28 de mayo de 1936, el matemático británico de 23 años, Alan Turing transformó las ideas de Gödel de modo magistral en su artículo "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem". En ese artículo aparecen por primera vez las máquinas de Turing, y las máquinas de Turing universales.
Hacía el final de su vida, Turing se interesó provechosamente en la biología.
17. Todas las computadoras electrónicas del mundo actual (incluida la que contiene cada teléfono celular del planeta) tienen como predecesora a la computadora de 5 kilobytes de memoria fabricada con tubos catódicos por el equipo de ingenieros que, dirigidos por Johnny, se construyó en el instituto de estudios avanzados de Princeton a finales de 1945. La máquina de Turing universal de 1936 se convirtió en una realidad que invadió todas las actividades humanas. La arquitectura de von Neumann es ubicua.
Johnny construyó su computadora con el propósito de diseñar armas nucleares más poderosas, como la bomba de hidrógeno que finalmente explotó con la fuerza de mil bombas de Hiroshima en el atolón Enewetak el primero de noviembre de 1952: It´s a boy, ese niño que llamó Ivy Mike.
El diseño de la bomba de hidrógeno (el arma más mortífera que haya construido el ser humano) es universalmente conocido como el diseño Teller-Ulam; esto es injusto: las contribuciones de von Neumann (junto con Klaus Fuchs) a este diseño son tantas que debería llamarse el diseño Teller-Ulam-von Neumann.
18. Johnny descubrió el secreto de la vida. Después Watson y Crick lo redescubrieron. En 1949, en la Universidad de Illinois, Johnny dio cinco conferencias que Arthur Burks editaría cuidadosamente años después. El título del libro resultante es Theory of self-reproducing automata.
La vida se reproduce y evoluciona. El problema de reproducción es, entre otras cosas, un problema de comunicación, una línea ruidosa: cada acto reproductivo del planeta es un proceso de transferencia de datos. En manos de Johnny, la máquina universal de Turing se convierte en el constructor universal de von Neumann: una máquina que se copia a sí misma. Ideas de computación y de termodinámica fluyen con virtuosismo en este libro (publicado póstumamente en 1966). El secreto de la vida al descubierto en la historia hegeliana de las ideas.
Para Sydney BrennerBrenner obtuvo el premio Nobel de medicina en 2002., Johnny es un profeta. BrennerBrenner, S. (2012). “The Revolution in the Life Sciences”. Science, 338(6113), 1427-1428. compara la propuesta de SchrödingerSchrödinger, E. (1992). What is life?: With mind and matter and autobiographical sketches. Cambridge University Press. de cristal quasiperiódico (como explicación al secreto de la vida) con la propuesta de Von Neumann. En palabras de Brenner:
[...] Lo que se necesita añadir a la física para explicar la vida [es] la teoría fundamental formulada por Turing en su noción de máquina de Turing universal y desarrollada por von Neumann en su teoría de máquinas que se autorreproducen. Dada la descripción de cualquier cálculo, una máquina universal de Turing puede leer la descripción y efectuar el cálculo; de la misma manera, un constructor universal de von Neumann puede construir cualquier máquina cuando le es dada su descripción pero, para conservar su propiedad de autorreproducción, es necesario que la máquina madre copie su descripción e inserte una copia en la máquina hija. Ahora podemos reconocer el error de Schrödinger: los cromosomas no contienen los medios para ejecutar el plan del organismo, sino solamente la descripción de los medios para tal tarea.
Descubrir por la mañana el secreto de la muerte y por la tarde el secreto de la vida posee cierta simetría.
19. El genio de Johnny era legendario. Edward Teller dijo en alguna ocasión que “si una raza mentalmente superhumana se llega a desarrollar, sus miembros serán parecidos a Johnny von Neumann”. A los 8 años, Jancsi ya sabía calculo infinitesimal.
Johnny tenía memoria eidética: One of his remarkable abilities was his power of absolute recall. As far as I could tell, von Neumann was able on once reading a book or article to quote it back verbatim; moreover, he could do it years later without hesitation. En una ocasión, Stan Ulam quiso poner a prueba la memoria de Johnny y le preguntó si recordaba el principio de Historia de dos ciudades, a lo que inmediatamente Johnny, sin hacer pausa alguna, respondió recitando el capítulo uno sin parar hasta que Ulam se lo pidió.
Nassim Taleb dice que los matemáticos pueden definir pero no pueden calcular. Johnny calculaba más rápido y mejor que nadie: ingenieros, físicos, matemáticos.
Fabrizio Catanese me contó un chiste: llega un ingeniero a Princeton y se encuentra a von Neumann, Weyl y Einstein. Les hace una pregunta sobre un problema que requiere un enredado cálculo. Von Neumann responde de inmediato; Weyl, al ver la elegante respuesta, empieza a encontrar relaciones con docenas de campos de la matemática; Eistein dice “Repíteme la pregunta”.
¿Cuál es la naturaleza del genio humano? Johnny era un genio que pensaba con claridad absoluta y con frecuencia envidiaba a aquellos que, sin ser tan veloces, tenían profundas intuiciones irracionales. Ulam dice que Johnny carecía de una confianza en sí mismo absoluta: Johnny sentía que carecía del don de la percepción irracional de la verdad. Ulam especulaba que Johnny perdía la confianza en sí mismo cuando veía a otros hacer contribuciones que podían haber sido suyas de haber sido más atrevidoHargittai, I. (2006). The martians of science: Five physicists who changed the twentieth century. Oxford University Press.: Gödel, Turing, Einstein. Wigner consideraba a Einstein como un genio comparable con Newton y, a pesar de que Einstein era “mucho más lento” que Von Neumann, Wigner se daba cuenta de que Einstein era más profundo: en su opinión, von Neumann nunca produjo nada tan original como Einstein.
Salomon Bochner tiene un juicio más generoso: In his more traditional achievements he had his peers, and in his work in theoretical physics he did not originate a basic verity as several of his contemporaries in the 1920s did. But if to his preponderance in mathematics and physics, and his familiarity with many other problems of science, one adds his momentous excursion into the theory of rational behavior — as the implications of games and strategies are named by some — then it can be said that, among mathematicians at any rate, he was an exceptional contemporary indeed. By intellectual faculty he was a mathematician, but by species he was a scientific man within all the major connotations of today, from esoteric ones to those of popular appeal.
Seamos ecuménicos y digamos que la comedia humana requiere de todos sus genios.
20. Uno de los temas de la carrera científica de von Neumann es cómo un tema lleva natural e inesperadamente al siguiente que parece no tener relación. Esto es un reflejo de la profunda unidad total de la matemática en donde todos los hechos son uno, y un hecho es el reflejo de todos los hechos. El mundo de verdades matemáticas donde los ecos distantes son voces de una fuga infinita fue la mansión de Johnny.
Y la voz de Johnny es múltiple: motivado por Hilbert, Johnny estudió los fundamentos de la matemática entre los 18 y los 21 años (investigaciones cuyos frutos cosechó Gödel); motivado por Émile Borel, Johnny descubrió la teoría de los juegos (a los 24 años, fascinado por la vida nocturna de Berlín, el póquer y el bacará) y, el mismo año, la solución al problema de SteinhausDyson, Freeman. "A Walk through Johnny von Neumann’s Garden." Notices of the AMS 60.2 (2013). (la división del intervalo en una cantidad numerable de subconjuntos idénticos). Otra vez motivado por Hilbert, los fundamentos de la mecánica cuántica (en donde introduce la noción de que de que un estado en mecánica cuántica debe ser un elemento en la proyectivización de un espacio de Hilbert). Su teoría de operadores no acotados sobre un espacio de Hilbert, su teoría de funciones casi periódicas en grupos (que le dio el premio Bôcher), su solución al quinto problema de Hibert en el caso compacto, y su opus magnum —su teoría de álgebras de operadores acotados en un espacio del Hilbert— fueron todas obras maestrasBochner, Salomon. "John von Neumann." Biographical Memoirs 32 (1958): 456-451.
Von Neumann, John. "John von Neumann." Collected Works 6 (1992): 219-237.. Y claro, su teoría de ondas de detonación y el invento de las computadoras electrónicas han tenido consecuencias muy profundas en la historia de la humanidad.
Johnny publicó con Fekete su primer artículo a los 18 años, y Mandelbrot cuenta que Von Neumann estuvo tentado a publicar su último artículo con Fekete en 1954 (aunque él pensaba sólo que sería el último artículo de Fekete y no el suyo). Pero Johnny ya no tuvo tiempo.
21. Johnny fue bautizado como católico en 1930 (antes de su matrimonio con Mariette Kövesi) y Bochner simplemente nos dice que “murió en la fe”.
En su cama de muerte, en el hospital Walter Reed, lo visitaba un monje benedictino (aunque después pidió que lo visitara uno jesuita). Oppenheimer y Morgenstern no creían en ésa, su religiosidad, hacia el final de sus días pues, cuando sano, siempre fue agnóstico. Su hermano Nicolas von Neumann suponía que la motivación de pedir un sacerdote era para tener con quién discutir los clásicos (Ulam le leía en griego, de su usada copia de Tucídides, el discurso de Pericles), pero su hija Marina no está de acuerdo: ella cree que Johnny tenía en mente la apuesta de PascalDyson, George. Turing's cathedral: the origins of the digital universe. Random House LLC, 2012..
22. Johnny amaba los paréntesis en matemáticas: ésos que cada que se abren deben cerrarse (en alguna ocasión, una de sus expresiones tuvo tantos paréntesis que sus estudiantes la llamaron "la cebolla de von Neumann"). Todo Zusammenf requiere su zu einem Ganzen.
Dennis Sullivan relata que Gelfand le dijo alguna vez que la originalidad de un matemático es inversamente proporcional a su edad mental: un matemático de enorme originalidad era calificado por Gelfand como de 5 años. Von Neumann (Johnny eternamente) fue un hombre de una imaginación y originalidad infantiles hasta el fin de sus días.
Pero nada es para siempre. Me atrevo a emitir una hipótesis incomprobable: el día de abril de 1956 que von Neumann fue admitido al hospital Walter Reed dejó de ser Johnny para siempre y se convirtió en el Dr. John von Neumann.
