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Olimpiada de topología de San Petersburgo (por correspondencia)

2018 Vol. 3 Núm. 2 Artículo X

1-31 de octubre de 2018


Problemas

  1. a) Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R^2$ una función continua e inyectiva, no acotada tanto sobre los reales positivos como sobre los negativos. ¿Podría ser conexo el complemento de la imagen de $f$?

    b) Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R^3$ una función continua e inyectiva, cuya imagen es densa en $\mathbb R^3$. ¿Podría ser simplemente conexo el complemento de la imagen de $f$? (En otras palabras, ¿es cierto que cada función continua $S^1\to \mathbb R^3\setminus f(\mathbb R)$ podría ser extendida a una función continua del disco 2-dimensional a $\mathbb R^3\setminus f(\mathbb R)$?)

  2. a) Denotemos por $I$ el intervalo abierto $(0,1)\subset\mathbb R$. Sea $$f:I^2\to \{(x,y)\in\mathbb R^2| x^2+y^2<1\}$$ un difeomorfismo. Demostrar que existe $x\in I$ tal que la curva $f(x\times I)$ tiene longitud al menos $2$. (En otras palabras: si un disco es fibrado por curvas de manera suave, una de estas curvas será al menos igual de larga que el diámetro del disco.)

    b) Sea $f:I^3\to \{(x,y,z)\in\mathbb R^3| x^2+y^2+z^2<1\}$ un difeomorfismo. Encontrar una cota inferior (la mejor que se pueda) para el supremo de las áreas de los conjuntos de la forma $f(x\times I^2)$, where $x\in I$.

  3. ¿Es posible hallar una función continua $\mathbb R P^2\to M$ que tenga un valor regular con el número impar de preimágenes, si:

    a) $M=S^2$; b) $M=S^1\times S^1$?

    c) Sea $M$ una 4-variedad conexa, cerrada y orientada. Sea $f: \mathbb CP^2\to M$ una función continua cuyo grado es distinto de cero. Encontrar todos los posibles valores del segundo número de Betti de $M$. Recordemos que el segundo número de Betti $b_2(M)$ es el máximo $r$ tal que existen $r$ subvariedades de dimensión 2 cerradas $X_1,\dots X_r$ of $M$ con la propiedad de que el rango de la matriz de los productos intersección $X_i\cdot X_j$ es igual a $r$.

  4. Sean $G_1,G_2$ dos gráficas (grafos) isomorfos, dibujados sobre la esfera $S^2\subset \mathbb R^3$ de dos maneras diferentes. Si cada $G_i$ es simétrico con respecto al centro de la esfera, ningunas dos aristas se intersectan fuera de un vértice y ningún vértice pertenece a un punto interior de una arista, ¿será cierto que las dos gráficas obtenidas de las $G_i$ identificando los puntos opuestos de la esfera serán isomorfas? (Si dos gráficas inmersas en $\mathbb RP^2$ tienen preimágenes isomorfas bajo el recubrimiento doble $S^2\to\mathbb R P^2$, ¿será cierto que ls gráficas mismas son isomorfas?)

  5. a) Demostrar que de cada 11 puntos en $\mathbb R ^3$ se pueden escoger tres tripletas de tal manera que los tres triángulos formados por estas tripletas tienen un punto en común.

    b) ¿Es cierta esta afirmación para 10 puntos?

  6. Sea $K$ un polígono (de dimensión 2) en el plano y $a$ un vector, tal que $K+a$ ($K$ desplazo por $a$) no intersecta $K$ (es decir, $K\cap(K+a)=\varnothing$). Demostrar que dos discos de diámetro $|a|$ dentro de $K$ no se pueden intercambiar lugares por medio de un movimiento continuo durante el cual ambos permanecen disjuntos y sus centros se desplazan dentro de $K$.

  7. Consideremos una curva suave parametrizada $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^2$, tal que la curvatura de $\gamma(t)$ decrece monotónicamente con $t$.

    a) Demostrar que los círculos osculantes en dos puntos diferentes de $\gamma$ no se intersectan.

    b) Encontrar el paso erróneo en el siguiente argumento. Notemos que el punto $\gamma(1/2)$ tiene una vecindad fibrada por los círculos osculantes en los puntos de la curva cercanos a $\gamma(1/2)$. Entonces, la curva $\gamma$ intersecta todas las hojas de esta fibración local. Esto, sin embargo, es imposible, puesto que localmente esta fibración es un producto de intervalos y si $\gamma$ fuera tangente a todas las fibras, tendría la derivada igual a cero en cada punto y, por lo tanto, coincidiría con una de estas fibras ? pero $\gamma$ no es un círculo.

Reglamento

  1. Las fechas de la olimpiada son del 1 al 31 de octubre del 2018. Se aceptan soluciones de equipos de no más de 3 personas. Se permite usar todos los materiales. Se prohibe pedir ayuda a cualquier persona fuera del equipo. No hay premios. No se conocen las soluciones a todos los problemas. Las reglas y las versiones actualizadas de los problemas (con correcciones y explicaciones donde esto sea necesario) en http://mathcenter.spb.ru/nikaan/olympiad/problems2018eng.pdf
  2. Las soluciones se reciben hasta las 24:00 del 31 de octubre (horario de Moscú) en la dirección de correo electrónico nikaanspb@gmail.com (en ruso) y, en el horario local de su país, en la dirección de correo electrónico universo.math@gmail.com (en español); como "asunto" se debe indicar [olimpiada de topología]. Todas las preguntas sobre las reglas o los problemas se deben enviar a las mismas direcciones con el mismo "asunto".
  3. Solamente se reciben soluciones en formato .pdf. El archivo puede ser producido en cualquier programa; en particular, se aceptan soluciones escaneadas, siempre y cuando sean legibles.
  4. Todos pueden participar. Los resultados de los estudiantes de licenciatura (del primero al sexto semestre) se calificarán aparte de los resultados generales. Acompañen las soluciones con su(s) nombre(s) y lugar(es) de trabajo o de estudio. Al someter las soluciones al concurso, los participantes permiten usar y analisar esta información personal (se publicará la tabla de los resultados). En el caso de no otorgar este consentimiento, mencionelo explícitamente; los trabajos anónimos se permiten aunque esto no es la opción preferida.
  5. Los resultados se publicarán en http://mathcenter.spb.ru/nikaan/olympiade.html
  6. ¡Corran la voz! Traducciones a más idiomas se pueden encontrar en http://mathcenter.spb.ru/nikaan/olympiade.html



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