a) Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R^2$ una función continua e inyectiva, no acotada tanto sobre los reales positivos como sobre los negativos. ¿Podría ser conexo el complemento de la imagen de $f$?
b) Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R^3$ una función continua e inyectiva, cuya imagen es densa en $\mathbb R^3$. ¿Podría ser simplemente conexo el complemento de la imagen de $f$? (En otras palabras, ¿es cierto que cada función continua $S^1\to \mathbb R^3\setminus f(\mathbb R)$ podría ser extendida a una función continua del disco 2-dimensional a $\mathbb R^3\setminus f(\mathbb R)$?)
a) Denotemos por $I$ el intervalo abierto $(0,1)\subset\mathbb R$. Sea $$f:I^2\to \{(x,y)\in\mathbb R^2| x^2+y^2<1\}$$ un difeomorfismo. Demostrar que existe $x\in I$ tal que la curva $f(x\times I)$ tiene longitud al menos $2$. (En otras palabras: si un disco es fibrado por curvas de manera suave, una de estas curvas será al menos igual de larga que el diámetro del disco.)
b) Sea $f:I^3\to \{(x,y,z)\in\mathbb R^3| x^2+y^2+z^2<1\}$ un difeomorfismo. Encontrar una cota inferior (la mejor que se pueda) para el supremo de las áreas de los conjuntos de la forma $f(x\times I^2)$, where $x\in I$.
¿Es posible hallar una función continua $\mathbb R P^2\to M$ que tenga un valor regular con el número impar de preimágenes, si:
a) $M=S^2$; b) $M=S^1\times S^1$?
c) Sea $M$ una 4-variedad conexa, cerrada y orientada. Sea $f: \mathbb CP^2\to M$ una función continua cuyo grado es distinto de cero. Encontrar todos los posibles valores del segundo número de Betti de $M$. Recordemos que el segundo número de Betti $b_2(M)$ es el máximo $r$ tal que existen $r$ subvariedades de dimensión 2 cerradas $X_1,\dots X_r$ of $M$ con la propiedad de que el rango de la matriz de los productos intersección $X_i\cdot X_j$ es igual a $r$.
Sean $G_1,G_2$ dos gráficas (grafos) isomorfos, dibujados sobre la esfera $S^2\subset \mathbb R^3$ de dos maneras diferentes. Si cada $G_i$ es simétrico con respecto al centro de la esfera, ningunas dos aristas se intersectan fuera de un vértice y ningún vértice pertenece a un punto interior de una arista, ¿será cierto que las dos gráficas obtenidas de las $G_i$ identificando los puntos opuestos de la esfera serán isomorfas? (Si dos gráficas inmersas en $\mathbb RP^2$ tienen preimágenes isomorfas bajo el recubrimiento doble $S^2\to\mathbb R P^2$, ¿será cierto que ls gráficas mismas son isomorfas?)
a) Demostrar que de cada 11 puntos en $\mathbb R ^3$ se pueden escoger tres tripletas de tal manera que los tres triángulos formados por estas tripletas tienen un punto en común.
b) ¿Es cierta esta afirmación para 10 puntos?
Sea $K$ un polígono (de dimensión 2) en el plano y $a$ un vector, tal que $K+a$ ($K$ desplazo por $a$) no intersecta $K$ (es decir, $K\cap(K+a)=\varnothing$). Demostrar que dos discos de diámetro $|a|$ dentro de $K$ no se pueden intercambiar lugares por medio de un movimiento continuo durante el cual ambos permanecen disjuntos y sus centros se desplazan dentro de $K$.
Consideremos una curva suave parametrizada $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^2$, tal que la curvatura de $\gamma(t)$ decrece monotónicamente con $t$.
a) Demostrar que los círculos osculantes en dos puntos diferentes de $\gamma$ no se intersectan.
b) Encontrar el paso erróneo en el siguiente argumento. Notemos que el punto $\gamma(1/2)$ tiene una vecindad fibrada por los círculos osculantes en los puntos de la curva cercanos a $\gamma(1/2)$. Entonces, la curva $\gamma$ intersecta todas las hojas de esta fibración local. Esto, sin embargo, es imposible, puesto que localmente esta fibración es un producto de intervalos y si $\gamma$ fuera tangente a todas las fibras, tendría la derivada igual a cero en cada punto y, por lo tanto, coincidiría con una de estas fibras ? pero $\gamma$ no es un círculo.
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