En este número discutimos un problema de la Olimpiada de Matemática Estadounidense Junior (USA Junior Mathematical Olympiad) de 2010, propuesto por el autor de este artículo.
Observen que (a) implica $x_i< 2n$ para todos los índices $i$. Ahora, examinemos los valores posibles de $x_1.$ No es posible que $x_1=1$, ya que (b) implicaría, en este caso, que todos los números menores que $2n$ sean términos de la sucesión, lo que es imposible porque la sucesión sólo tiene $n-1$ términos.
Sea $x_1=2$; entonces, por (b), los números $2,4,6,\ldots , 2n-2$ son términos de la sucesión y, a causa de esto, $x_i=2i$, $i=1,2,\ldots, n-1$. Esta sucesión satisface las condiciones del problema y, entonces, tenemos un ejemplo.
Consideremos el caso $x_1\geq 3$. Si $n=2$, la única posibilidad podría ser $x_1=3$, lo que violaría la condición (a). Si $n=3$, tendríamos la posibilidades $x_1=3$, $x_2=4$; $x_1=3$, $x_2=5$; $x_1=4$, $x_2=5$, pero todas ellas violarían (a). Estos ejemplos sugieren que en este caso no hay soluciones. Supongamos que para algún $n$ existe una sucesión con $x_1\geq 3$. Los números \begin{eqnarray}\label{firstequ} x_1,2x_1,\ldots, \left\lfloor \frac{2n}{x_1}\right\rfloor x_1 \end{eqnarray} son términos de la sucesión, y ningún otro múltiplo de $x_1$ lo es. Dado que $x_1\geq 3$, a lo más $\frac{2}{3}n$ términos son de esta forma y, entonces, existen otros términos en la sucesión. Sea $x_j$ el mas pequeño de los términos que no aparecen en (\ref{firstequ}). Los primeros $j$ términos de la sucesión son \begin{eqnarray*} x_1, \quad x_2=2x_1,\quad \ldots,\quad x_{j-1}=(j-1)x_1,\quad x_j, \end{eqnarray*} y tenemos que $x_j< jx_1$. La condición (a) implica que los últimos términos de la sucesión deben ser \begin{eqnarray}\label{secondequ} \begin{array}{l}x_{n-1}=2n-x_1, \quad x_{n-2}=2n-2x_1,\quad \ldots, \\ x_{n-j+1}=2n-(j-1)x_1, \quad x_{n-j}=2n-x_j. \end{array} \end{eqnarray} Pero $x_1+x_{n-j}< x_1+x_{n-1}=2n$, y por la condición (b) existe $k$ tal que $x_1+x_{n-j}=x_k$. Por un lado, tenemos que \begin{alignat*}{1} x_k&=x_1+x_{n-j}=x_1+2n-x_j=2n-(x_j-x_1)\\&>2n-(jx_1-x_1) =2n-(j-1)x_1= x_{n-j+1} \end{alignat*} y, por otro lado, \begin{eqnarray*} x_k=x_1+x_{n-j}< x_1+x_{n-j+1}=x_{n-j+2}. \end{eqnarray*} De aquí obtenemos que $x_k$ está entre $x_{n-j+1}$ y $x_{n-j+2}$, lo que contradice el hecho de que (\ref{secondequ}) son los últimos $j$ términos de la sucesión.
Concluimos que la única solución es $x_i=2i$, $i=1,2,\ldots, n-1$.
Ahora, explicaremos el contexto de este problema.
En su estudio Theorie der Abel'schen Functionen publicado en 1857, Bernard Riemann introdujo las superficies que ahora llevan su nombre como un instrumento para investigar integrales y funciones elípticas. Une superficie de Riemann es una variedad compleja de dimensión 1, es decir, una superficie orientada con estructura compleja. Para nuestro problema, nos interesan solamente las superficies compactas. Desde el punto de vista topológico, estas superficies están completamente clasificadas por el género (que es un número entero no negativo), y las primeras cuatro (de generos 0,1,2,3) se pueden ver en la figura. La lista continúa de la misma manera, con el genero siendo el número de asas de la superficie.
La estructura compleja nos da coordenadas complejas en la vecindad de cada punto, y para los puntos que están en la intersección de dos sistemas de coordenadas, el cambio de coordenadas es una función diferenciable de variable compleja. Por ejemplo, en la esfera de Riemann (la primera superficie en la figura), podemos definir las coordenadas complejas de tal manera que la esfera sin el polo sur y, tambien, la esfera sin el polo norte estan identificadas con el plano complejo y el cambio de coordenadas es la función $z\mapsto \frac{1}{z}$.
Las funciones que aparecen naturalmente en la teoría de superficies de Riemann son las funciones holomorfas: son las funciones definidas globalmente que, en las coordenadas locales, son diferenciables como funciones de variable compleja. Sin embargo, un teorema de Liouville implica que en el caso de las superficies compactas no hay más que funciones holomorfas constantas. El caso más general es el de las funciones meromorfas, que son funciones definidas en toda la superficie, menos un conjunto aislado de puntos, con la propiedad de que cada punto tiene una vecindad en cual la función se puede escribir como el cociente entre dos funciones holomorfas. Todos los ceros de los numeradores de las formas locales de una función meromorfa forman el conjunto de ceros de esta función, y los ceros de los denominadores son los polos de la función meromorfa.
Si $p$ es un polo de la función meromorfa $f,$ existe un numero entero $n\geq 1$ tal que, en coordenadas locales alrededor de $p$, \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{h(z)}{(z-p)^n}, \end{eqnarray*} con $h$ una función holomorfa y $h(p)\neq 0$. El número $n$ se llama el orden del polo.
El teorema de gaps de Weierstrass demuestra que para cada superficie de Riemann compacta, $\Sigma$, de genero positivo $g$, y para cada punto $p\in \Sigma$, hay precisamente $g$ enteros \begin{eqnarray*} 1=n_1< n_2 < \cdots < n_g < 2g, \end{eqnarray*} de manera que para ninguno de los $j=1,2,\ldots, g$ existe una funcion meromorfa que sea holomorfa en $\Sigma\backslash \{p\}$ y que tenga un polo de orden $n_j$ en $p$. Los numeros $n_j$ se llaman los gaps del punto $p$ en la superficie de Riemann $\Sigma$ (y dependen de $p$ y de $\Sigma$), y $n_1,n_2,\ldots, n_g$ se llama la sucesión de gaps.
Basado en este teorema, sean \begin{eqnarray*} 1<\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_{g-1}< 2g \end{eqnarray*} los primeros $g-1$ números enteros positivos que no son gaps de $p\in \Sigma$. Se puede demostrar que estos números satisfacen las siguientes propiedades:
El lector de esta nota puede encontrar más información sobre las superficies de Riemann y sus funciones holomorfas y meromorfas en el libro de Farkas e Kra [1] y sobre la relación entre las superficies de Riemann y las funciones elípticas en [2].
Concluimos con un problema similar, propuesto hace muchos años para la olimpiada por Richard Stong:
[1] H.M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1992.
[2] C. Houzel, Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes, in J. Dieudonné (ed.), Abregé d'Histoire des Mathématiques, Hermann, 1978, pp. 1-114.
