Encontrar dos subconjuntos compactos $X_1, X_2$ del plano $\mathbb{R}^2$, no homeomorfos entre si, tales que $X_1\times I$ es homeomorfo a $X_2\times I$, donde $I=[0,1]$ es un intervalo cerrado.
Un conjunto de cuatro puntos está dotado de la topología mínima (es decir, con el número mínimo de abiertos) en la cual dos puntos son abiertos y los otros dos cerrados. Calcular el grupo fundamental de este espacio y construir su cubriente universal.
(a) En el espacio de todos los triángulos en el plano ¿es cierto que el subespacio que consiste de los triángulos rectángulos es un retracto por deformación? (b) Construir la retracción por deformación del espacio de todos los triángulos en el plano al subespacio de los triángulos equiláteros.
Sea $X$ una variedad y $f:X\to S^2$ una función continua tal que $f^{-1}(x)$ es homeomorfo a $S^1$ para cada punto $x$ de la esfera $S^2$.
¿Cuáles pueden ser los grupos $H_1(X,\mathbb{Z})$ y $H_2(X,\mathbb{Z})$?
Consideremos $S^4=\{ x\in \mathbb{R}^5\, |\, |x|=1\}$. ¿Es posible escoger para cada punto $x\in S^4$ un plano afín $P_x$, tangente a $S^4$ en $x$, de tal forma que $P_x$ dependa de $x$ continuamente?
¿Podría ser conexo un espacio Hausdorff que es numerable como conjunto?
¿Es posible encontrar una función continua suprayectiva $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ que no sea un homeomorfismo y tal que cada punto $x\in \mathbb{R}^2$ tenga una vecindad $U$ tal que $f: U\to f(U)$ sea un homeomorfismo?
(a) Consideremos el cuadrado $[0,n]^2$ en el plano, donde $n$ es un número natural. Sea $X$ el subespacio de dimensión 1 que consiste de los puntos que tienen al menos una de las coordenadas entera. Encontrar el máximo $k=k(n)$ tal que para cada función continua de $X$ a $\mathbb{R}^1$ existe un punto con al menos $k$ preimágenes distintas.
(b) Misma pregunta para las funciones, con valores en $\mathbb{R}^2$, sobre el subespacio de $[0,n]^3$ que consiste de los puntos que tienen al menos una de las coordenadas entera.
¿Es posible construir una inmersión $f: S^2\to \mathbb{R}^3$ que no se extienda a una inmersión $g: D^3\to \mathbb{R}^3$ del disco tridimensional con $g|_{\partial D^3} =f$?
Reglamento
Las fechas de la olimpiada son del 1 al 31 de octubre del 2017; no es presencial.
Las soluciones se reciben hasta las 24:00 del 31 de octubre (horario de Moscú) en la dirección de correo electrónico nikaanspb@gmail.com (en ruso) y, en el horario local de su país, en la dirección de correo electrónico universo.math@gmail.com (en español); como "asunto" se debe indicar "Soluciones de la Olimpiada de Topología".
Solamente se reciben soluciones en formato .pdf. El archivo puede ser producido en cualquier programa; en particular, se aceptan soluciones escaneadas, siempre y cuando sean legibles.
Todas las preguntas sobre la olimpiada se deben dirigir a Nikita Kalinin nikaanspb@gmail.com (en ruso) y a Jacob Mostovoy universo.math@gmail.com (en español).
Todos pueden participar. Los resultados de los estudiantes de licenciatura (del primero al sexto semestre) se calificarán aparte de los resultados generales. Al enviar su trabajo, no olvide indicar su nombre y su lugar de estudios.
Se reciben soluciones de equipos de 1 a 3 participantes. Se pueden usar cualquier tipo de materiales. Se prohibe pedir ayuda a alguien fuera del equipo.
Envíen sus trabajos aunque solamente hayan resulto un problema.
