Olimpiada de topología de San Petersburgo (por correspondencia)

Problemas y soluciones/sugerencias

1. Encontrar dos subconjuntos compactos $X_1, X_2$ del plano $\mathbb{R}^2$, no homeomorfos entre si, tales que $X_1\times I$ es homeomorfo a $X_2\times I$, donde $I=[0,1]$ es un intervalo cerrado.

Ejemplo: $X_1$ es un anillo $(\{z\in\mathbb{C}\,|\, 1\leq|z|\leq 2\})$ con dos cabellos (es decir, дос intervalos) pegados en el borde exterior; $X_2$ es el mismo anillo con un cabello pegado en el borde exterior y un cabello en el borde interior.

2. Un conjunto de cuatro puntos está dotado de la topología mínima (es decir, con el número mínimo de abiertos) en la cual dos puntos son abiertos y los otros dos cerrados. Calcular el grupo fundamental de este espacio y construir su cubriente universal.

Sugerencia: hay que observar que este conjunto de cuatro puntos, esencialmente, es un círculo (o sea, una descomposición del cículo en cuatro celdas: dos intervalos y dos puntos). El grupo fundamental, por lo tanto, es $\mathbb{Z}$. El cubriente universal del círculo es una recta; en nuestro caso, será $\mathbb{Z}$ con una estructura topológica discreta similar.

3. (a) En el espacio de todos los triángulos en el plano ¿es cierto que el subespacio que consiste de los triángulos rectángulos es un retracto por deformación? (b) Construir la retracción por deformación del espacio de todos los triángulos en el plano al subespacio de los triángulos equiláteros.

Respuesta: a) no. Los triángulos rectángulos tienen un vértice distinguido. Por lo tanto, si tal retracción existiera, cada triángulo debería poseer un vértice distinguido (que correspondería al ángulo recto). Consideremos ahora el triángulo equilátero. En el espacio de todos los triángulos hay un camino cerrado (lazo) que representa la rotación por $2\pi/3$ y envía el triángulo equilátero a él mismo. Ya para este lazo no existe la retracción que buscamos. b) Utilice el triángulo de Napoleon.

4. Sea $X$ una variedad y $f:X\to S^2$ una función continua tal que $f^{-1}(x)$ es homeomorfo a $S^1$ para cada punto $x$ de la esfera $S^2$. ¿Cuáles pueden ser los grupos $H_1(X,\mathbb{Z})$ y $H_2(X,\mathbb{Z})$?

Si $f$ es una fibración, se puede escribir una sucesión espectral. O, también, se puede pensar que $S^2$ es la unión de dos discos $D_1$ y $D_2$ a lo largo de su frontera común $\partial D_1=\partial D_2$. Así que la fibración $f$ se puede obtener como la unión de $D_1\times S^1$ y $D_2\times S^1$; hay tantas uniones de este tipo cuántas hay funciones de $\partial D_1$ a $S^1$ (o sea, a la fibra); tenemos $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$. Es fácil calcular la homología de esta construcción explicita. Pero: ¡ $f$ no necesariamente es una fibración! También existen los espacios fibrados de Seifert.

5. Consideremos $S^4=\{ x\in \mathbb{R}^5\, |\, |x|=1\}$. ¿Es posible escoger para cada punto $x\in S^4$ un plano afín $P_x$, tangente a $S^4$ en $x$, de tal forma que $P_x$ dependa de $x$ continuamente?

No. La solución, si existe, define un sub-haz del haz tangente. Su clase de Euler debe ser cero ya que $H_2(S^4)=0$. Entonces, la clase de Euler de la suma de este sub-haz y su ortogonal debería ser cero, lo que es falso: la clase de Euler del haz tangente de $S^4$ es igual a 2.

6. ¿Podría ser conexo un espacio Hausdorff que es numerable como conjunto?

Si, hay muchos ejemplos. Busquen en el internet (en inglés).

7. ¿Es posible encontrar una función continua suprayectiva $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ que no sea un homeomorfismo y tal que cada punto $x\in \mathbb{R}^2$ tenga una vecindad $U$ tal que $f: U\to f(U)$ sea un homeomorfismo?

Si. Consideremos una función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ que envía $\mathbb{R}\times 0$ a una curva suave con al menos una autointersección y que coincide en el infinito con $\mathbb{R}\times 0$. Además, $f$ manda cada recta $x\times \mathbb{R}$ a la recta ortogonal a $f(\mathbb{R},0)$ en el punto $f(x,0)$.

8. (a) Consideremos el cuadrado $[0,n]^2$ en el plano, donde $n$ es un número natural. Sea $X$ el subespacio de dimensión 1 que consiste de los puntos que tienen al menos una de las coordenadas entera. Encontrar el máximo $k=k(n)$ tal que para cada función continua de $X$ a $\mathbb{R}^1$ existe un punto con al menos $k$ preimágenes distintas. (b) Misma pregunta para las funciones, con valores en $\mathbb{R}^2$, sobre el subespacio de $[0,n]^3$ que consiste de los puntos que tienen al menos una de las coordenadas entera.

a) Se pueden considerar las imágenes de los vértices. Si todas son distintas, consideremos la preimagen del punto que tiene aproximadamente el mismo número de las imágenes de los vertices del lado derecho y del lado izquierdo. b) Se puede obtener una estimación no óptima (alrededor de $n/10$) usando http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/morse2_gafa.pdf

9. ¿Es posible construir una inmersión $f: S^2\to \mathbb{R}^3$ que no se extienda a una inmersión $g: D^3\to \mathbb{R}^3$ del disco tridimensional con $g|_{\partial D^3} =f$?

Por supuesto que si. Primero, consideremos el plano. La inmersión del círculo en forma de "ocho" claramente no se extiende a la inmersión del disco de dimensión dos. Manufacturemos un "ocho" en el espacio: tomemos una efera estándar y aplastemos su parte superior para que quede abajo de la parte inferior. Solamente necesitamos que la imagen de la inmersión divida el espacio en más de dos partes. Ahora, consideremos una inmersión de $D^3$ sin frontera. Su imagen es una abierto conexo, así que su frontera no puede ser un "ocho" en el espacio.