El “problema de dos sobres” es uno de los problemas más fascinantes y más ampliamente discutidos en matemáticas. Desde su aparición ha habido innumerables intentos de resolver el problema; ha habido, también, muchos anuncios de su solución y, sin embargo, hasta hoy, no hay una solución aceptada como definitiva.
Espero que le guste el problema; tal vez, usted será aquella persona quien proponga un argumento que satisfaga a la sociedad matemática y ponga fin a la interminable lista de anuncios de prematuras soluciones.
Antes de enunciar el problema, recordemos los conceptos fundamentales de la teoría de la probabilidad.
La teoría de la probabilidad realiza experimentos, como un lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría se ocupa de las probabilidades de los resultados. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire, hay dos resultados: águila y sol. Las probabilidades de cada resultado son de 50% (también decimos que la probabilidad es $1/2$).
Hay sólo dos axiomas de probabilidades: la probabilidad de cada resultado es un número no negativo, y la suma de las probabilidades de todos los resultados es 1. Por ejemplo, a partir de estos dos axiomas podemos calcular fácilmente las probabilidades de los resultados en el experimento de lanzar un dado.
En este caso, hay 6 posibles resultados de un lanzamiento; todos los resultados son equiprobables, de la probabilidad $x$, y la suma de las probabilidades de todos los resultados debería ser 1. Lo que implica que la probabilidad $x$ de cada resultado sea un sexto.
Otro concepto importante de la teoría de probabilidad es el concepto de valor esperado. Citemos un ejemplo.
En realidad, es más fácil calcular la ganancia / pérdida esperada en dos partidos. Observemos que, en promedio, en dos partidos ganamos una vez y perdemos una vez. De hecho, la probabilidad de ganar y de perder es de 50%. Por otro lado, si ganamos una vez y perdemos una vez, el resultado es una ganancia de $\$ N$ y una pérdida de $\$ N/2$. En otras palabras, en promedio, la ganancia en dos juegos es $\$ N/2$. Esto significa que la ganancia esperada en un juego es de $\$ N/4$.
¡Pasemos ahora al problema de dos sobres!
Hay dos sobres con dinero. Un sobre contiene dos veces tanto como el otro. Se le da a usted uno de los sobres. Puede aceptar el dinero o intercambiar el sobre con el otro. Supongamos que en su sobre hay $N$ pesos; entonces, si intercambia los sobres, con una probabilidad de 50% se pierde $N/2$ pesos y, con una probabilidad de 50%, se gana $N$ pesos. ¡El resultado esperado del cambio es que usted gana $\$N/4$!
El argumento implica que es rentable intercambiar los sobres. Sin embargo, después de intercambiar los sobres, puede repetir el argumento con la conclusión que se debe intercambiar los sobres de vuelta. Esto está definitivamente mal. ¿Dónde está el error en el argumento?
El problema es mucho más grave de lo que puede parecer. Permítame citar un extracto de la versión en inglés de Wikipedia sobre el problema:
Se han propuesto muchas soluciones. Comúnmente un escritor propone una solución al problema y, después, otro escritor muestra que, alterando el problema un poco, la paradoja revive. Tales secuencias de discusiones han producido una familia de formulaciones estrechamente relacionadas del problema, lo que resulta en una voluminosa literatura sobre el tema. Al momento, no hay solución propuesta ampliamente aceptada como definitiva.
A pesar de esto, es común que los autores afirmen que la solución al problema es fácil, incluso elemental. Sin embargo, estas soluciones elementales a menudo difieren de un autor a otro. Desde 1987 nuevos trabajos se han publicado todos los años.
Se puede imaginar que el fragmento anterior también está bajo discusión.
Consideremos una versión finita de este problema en la que supongamos que cada sobre contiene $\$ 100$ o $\$ 200$ o $\$ 400$ u $\$ 800$.
Sea $X$ la cantidad en su sobre y $Y$ la cantidad en el otro sobre.
Hay 6 casos posibles de la misma probabilidad:
En la versión finita, se puede ver que el argumento se rompe precisamente porque, en su sobre, usted puede tener $\$ 100$ u $\$ 800$. Si $N = 100$ pesos, entonces el intercambio es muy rentable: en este caso, no sólo acaba de obtener $N/4$ pesos adicionales sino, en realidad, se obtiene el doble de la cantidad. Por otra parte, si tiene $N = 800$ pesos, entonces el intercambio se traduciría en una pérdida de $\$ 400$, la cual compensa por completo la ganancia potencial de los otros casos.
Por supuesto, el argumento sigue siendo el mismo si reemplaza los posibles resultados de 100, 200 400 y 800, por 100, 200, ..., $2n * 100$. En otras palabras, una vez más, si tiene cualquier sobre (excepto el sobre con la cantidad más grande), usted ganaría un poco mediante el intercambio con el otro sobre. Por otro lado, si tiene el sobre con la cantidad más grande, es decir con $2n * 100$ pesos, entonces el cambio se traduciría en una pérdida enorme.
Cuando $n$ tiende hacia el infinito, suceden dos cosas:
La segunda observación es crucial, ya que muestra que, poniendo $n$ a tender al infinito, obtenemos un problema no bien definido.
Podemos decir que esto es una solución del problema: el problema original no está bien definido: no es posible asignar probabilidades iguales a una cantidad infinita de posibles resultados de tal manera que la suma de todos los valores sea 1.
Por supuesto que podemos asignar probabilidades a los resultados en una forma no equiprobable para que la suma de todos los valores sea 1. Esto revive la paradoja.
Supongamos que el sobre con la cantidad más pequeña contiene 1, 2, 4, 8, ... pesos con probabilidades
$$\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27}, \ldots, \frac{2^{n}}{3^{n+1}}, \ldots $$Vamos a verificar que los axiomas de probabilidad se cumplen. De hecho, todas las probabilidades son positivas. También debemos verificar, en el segundo axioma, que la suma de todas las probabilidades sea 1. Tenemos
$$S=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\ldots+\frac{2^{n}}{3^{n+1}} +\ldots $$ $$ S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\ldots+\frac{2^{n}}{3^{n+1}}+\ldots \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} S. $$ por lo que $S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} S$ o $S=1$.
Ahora bien, supongamos que en su sobre hay $a = 2^n$ pesos para $n> 0$. Entonces, hay dos opciones para la cantidad de dinero en el otro sobre: $\$ 2^{n-1}$ o $\$ 2^{n+1}$. La probabilidad de la pareja $(a,2a)$ es $2/3$ de la probabilidad de la pareja $(a/2,a)$. Sea $x$ la probabilidad de pareja $(a,2a)$. Entonces, $$x +\frac{2}{3}* x = 1, $$ o $$x=3/5.$$ Ahora, el valor esperado en el otro sobre es $$3/5 * a / 2 + 2/5 * 2a = 11a / 10.$$ En otras palabras, ¡siempre es rentable intercambiar los sobres! La paradoja ha revivido, ¡ya que es claro que los dos sobres son equivalentes y no debe haber ningún beneficio en su intercambio!
Una vez más, consideremos una versión finita del problema con los posibles resultados:
De hecho, ahora tenemos el número infinito de posibles resultados:
Y para cualquier cantidad $\$ N$ en el sobre, parece rentable cambiarlo. Intentemos calcular la ganancia esperada del intercambio del sobres: \begin{multline*} \text{Ganancia Esperada =}\\ = \left[(2-1)*\frac{1}{6}\right] + \left[(1-2)*\frac{1}{6}+(4-2)*\frac{1}{9} \right] + \left[(2-4)*\frac{1}{9}+(8-4)*\frac{2}{27}\right]+\ldots \end{multline*}
El primer término es la ganancia cuando $X = 1$. Este caso se produce con una probabilidad de $1/6$. El siguiente término entre paréntesis es la ganancia cuando $X = 2$ y así sucesivamente. Todos los términos entre paréntesis son positivos, por lo que puede parecer que el intercambio es rentable.
Por otro lado, podemos calcular la ganancia de una manera similar que en el caso finito: \begin{multline*} \text{Ganancia Esperada =}\\ = \left[(2-1)*\frac{1}{6} + (1-2)*\frac{1}{6}\right]+\left[(4-2)*\frac{1}{9} + (2-4)*\frac{1}{9}\right] + \ldots \end{multline*} ¡que obviamente es cero!
¿Cuál cálculo es correcto? Bueno, ambos cálculos son matemáticamente incorrectos. Como se ha observado en [WE], la suma es divergente, por lo que la ganancia esperada del intercambio de los sobres no está bien definida. Puede parecer que este último argumento resuelve completamente el problema, pero recordemos la larga historia de la paradoja ¡y no saltemos a la conclusión!
[WE] William Eckhardt, Paradoxes in probability theory, SpringerBriefs in Philosophy, Springer Dordrecht Heidelberg New York London 2013.
