Este texto se basa en la conferencia impartida por el autor el 26 de noviembre de 2015 en la Escuela de Otoño de Topología en el Departamento de Matemáticas del CINVESTAV-IPN.
Las leyes de potencias1 aparecen con frecuencia en la ciencia. Por ejemplo, los terremotos en una región sísmica activa obedecen la ley de Gutenberg-Richter [4]B. Gutenberg and C. F. Richter. Magnitude and energy of earthquakes. Annals of Geophysics, 9(1):1-15, 1956.: $N\sim 10^{-M}$ donde $N$ es el número de temblores de magnitud por lo menos $M$. Esto significa que, por año, se tienen en promedio cerca de 10000 temblores de magnitud 2 en la escala de Richter; 1000 temblores de magnitud 3; 100 temblores de magnitud 4; 10, de magnitud 5; uno, de magnitud 6, etc. Leyes similares están en todas partes: la ley de Hack en hidrología, $L\sim A^{0.6}$, que relaciona la longitud $L$ del río principal de una cuenca con su área $A$; el tiempo promedio en un embotellamiento a una velocidad $c$ es proporcional a $1/c$; el promedio de las diferencias de las alturas de dos puntos en una montaña a una distancia horizontal $r$ es proporcional a $1/r^{\alpha}$; etc.
Puesto que todas las situaciones anteriores son muy diferentes, podemos elegir cualquier modelo matemático con el mismo comportamiento y estudiarlo. La principal dificultad es que, por lo general, un sistema (o un modelo matemático) tiene algunos parámetros los cuales deben ajustarse con el fin de obtener un comportamiento “crítico”2 (por ejemplo, la temperatura por cambio de fase). Aquí necesitamos un modelo sin esos parámetros. Para más ejemplos de leyes de potencias en todas las áreas de la vida, una introducción al tema e historia de su relación con la criticalidad autorganizada y “$1/f$-ruido”, sugerimos consultar el libro [1]P. Bak. How nature works: the science of self-organized criticality. Springer Science & Business Media, 2013. . A continuación, damos las ideas detrás de nuestro modelo principal — pilas de arena — y formulamos preguntas matemáticas y resultados en el estado actual del arte.
En [2]P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise. Physical review letters, 59(4):381, 1987. Bak et al. presentó un modelo con péndulos en los vértices de la retícula estandar $\mathbb{Z}^{2}$. Estos péndulos están conectados por resortes. Cuando rotamos un péndulo, los resortes se tuercen y esta energía puede rotar a los péndulos vecinos. Este modelo produce un comportamiento en términos de una ley de potencias.
Hay un modelo similar con arena. En vez de un péndulo, en cada vértice hay una columna de granos de arena, uno encima del otro. Los granos se pueden caer simultáneamente hacía los cuatro lados, de cuatro en cuatro, aumentando las alturas de las columnas vecinas. Definamos el modelo explícitamente.
Sea $\Gamma$ la intersección de $\mathbb{Z}^{2}$ con $[0,N]\times[0,N]$ y $\phi:\Gamma\to\mathbb{Z}_\geq 0$ una función definida sobre $\Gamma$ con valores en los enteros no negativos. La función $\phi$ se llama un estado. Interpretamos a $\phi(i,j)$ como el número de granos de arena en el punto $(i,j)\in\mathbb{Z}^{2}$. Si $\phi(k,l)\geq 4$, entonces podemos hacer el “desplome” en $(k,l)$; esta operación produce un nuevo estado $\phi '$ dado por la siguiente regla: \[ \phi(i,j)= \begin{cases} \phi(i,j)-4 &\text{si} (i,j)=(k,l),\\ \phi(i,j)+1 &\text{si la distancia entre $(i,j)$ y $(k,l)$ es igual a uno,}\\ \phi(i,j) &\text{en otro caso} \end{cases} \] Interpretamos esta operación como una redistribución de granos, cada vecino de $(k,l)$ toma un grano de la arena que cae de $(k,l)$. Arena que cae fuera de $\Gamma$ desaparece. El proceso de hacer desplomes mientras sea posible se llama relajación. Un estado $\phi$ se dice estable si $\phi (i,j)\leq 3$ para todo $(i,j)\in \Gamma$, es decir, no podemos realizar desplome.
Ejercicio 1. Demostrar que todo estado $\phi$ puede llevarse a un estado estable mediante una secuencia finita de desplomes.
Ejercicio 2. Demostrar que el resultado de relajación de $\phi$ no depende del proceso de relajación, es decir, el resultado es el mismo sin importar como se realicen los desplomes. Esta es la razón por la cual el modelo se conoce como una pila de arena abeliana. Denotamos el resultado de relajación de $\phi$ por $\phi^{\circ}$.
Ejercicio 3. Definir un modelo similar para una gráfica finita $\Gamma$. Sugerencia: suponer que uno de los vértices de $\Gamma$ es un pozo, es decir, no podemos hacer desplomes en este vértice y la arena que cae en el simplemente desaparece.
Comencemos con un estado $\phi_0$ de $\Gamma$. Añadimos un grano de arena a un punto $p_{0}\in\Gamma$ y relajamos el estado obtenido. Esto nos da el estado $\phi_{1}=(\phi_{0}+\delta_{p_{0}})^{\circ}$, donde $\delta_{p}$ denota a la función que vale 1 en $p$ y 0 en otro punto. Procedemos de la misma manera, añadiendo granos a puntos aleatorios $p_{1},p_{2},\dots$ y relajando, $\phi_{k+1}=(\phi_{k}+\delta_{p_{k}})^{\circ}$. Podemos medir el tamaño $h_{k}$ de la avalancha mientras relajamos $\phi_{k}+\delta_{p_{k}}$, es decir, el número de desplomes que necesitamos efectuar en el proceso de relajación después de añadir un grano a $p_{k}$. Ocurre que la sucesión $h_{k}$ se comporta como una ley de potencias (en simulaciones a computadora se puede observar tal comportamiento, pero no se tiene aún una demostración de tal hecho).
En el proceso anterior podemos notar que después de algún tiempo sólo ciertos estados (estados recurrentes) aparecen, cada uno de ellos con igual probabilidad. ¿Cómo demostrarlo? Damos la idea principal. Definimos la operación $+$ sobre estados estables, $$\phi^{\circ}+\psi^{\circ}\, :=\, (\phi+\psi)^{\circ},$$ en el cual sumamos los granos en ambos estados en cada uno de los vértices y relajamos el estado obtenido. El conjunto de estados recurrentes es un grupo (el grupo de la pila de arena de $\Gamma$) con respecto a esta operación. Añadir un grano a un punto aleatorio corresponde a la suma con un generador elegido aleatoriamente dentro de un conjunto fijo de generadores. Claramente, tal proceso produce la distribución uniforme sobre el grupo de elementos. Además, la cardinalidad del grupo es igual al número de árboles generadores de $\Gamma$. La demostración de estos resultados, así como una introducción concisa a las pilas de arena para estudiantes de posgrado puede encontrarse en las excelentes notas [3]D. Dhar. Theoretical studies of self-organized criticality. Phys. A, 369(1):29-70, 2006..
Consideremos otro modelo. Sea $\Gamma=\mathbb{Z}^{2}$; los vértices de $\Gamma$ son los puntos $(i,j)$ de la réticula $\mathbb{Z}^{2}$ y unimos dos vértices por una arista si la distancia entre ellos es 1. Comenzamos con el estado $\phi\equiv 0$, es decir, sin granos de arena en algún vértice. Entonces, añadimos suficiente arena (digamos, unos cuantos millones de granos) al punto $(0,0)$ y lo relajamos. En otras palabras, consideramos el estado $\phi_{n}=(n\delta_{0,0})^{\circ}$.
Ejercicio 4. Demostrar que estos estados se pueden relajar; es decir, que su relajación siempre termina en un tiempo finito. Sucede que si reescalamos la imagen de $\phi_{n}$ por $\sqrt{n}$, entonces las correspondientes densidades de arena convergen [8]W. Pegden and C. K. Smart. Convergence of the Abelian sandpile. Duke Math. J., 162(4):627-642, 2013.. Recientemente, se encontró una relación entre el límite anterior y el Apollonian circle packing [7]L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. The apollonian structure of integer superharmonic matrices. arXiv preprint arXiv:1309.3267, 2013..
Consideremos el siguiente modelo donde $\Gamma$ es $[0,N]\times[0,N]\cap\mathbb{Z}^{2}$. Sea $\phi\equiv 3$, es decir, tenemos tres granos en cada punto. Si añadimos un grano a cada uno de los puntos $p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\in \Gamma$, esto produce una gran avalancha (muchos desplomes). Pero la imagen que resulta es algo regular: en $\psi=(\phi+\sum_{i=1}^{n}\delta_{p_{i}})$, tenemos tres granos de arena en casi todos los vértices y el conjunto $D_{N}=\{v\in \Gamma\mid \psi(v)\neq 3\}$ constituye un tipo de gráfica delgada con bordes rectos, la cual pasa a través de los puntos $p_{1},p_{2},\dots,p_{n}$. Sucede que cuando $N\to\infty$ y mantenemos las posiciones relativas de $p_{i}$ con respecto al cuadrado, $D_{N}$ se aproxima a una curva tropical.
Definición. Una curva tropical es el conjunto de puntos donde la función $\text{min}_{(i,j)\in A}(a_{ij}+ix+iy)$ no es suave, donde $A$ es un subconjunto finito de $\mathbb{Z}^{2}$, $a_{ij}\in\mathbb{R}$.
Sea $h$ la función desplome de $\phi+\sum_{i=1}^{n}\delta_{p_{i}}$, es decir, $h(v)$ es igual al número de desplomes que se efectúan durante el proceso de relajación de $\phi+\sum_{i=1}^{n}\delta_{p_{i}}$.
Ejercicio 5. Demostrar que si $v\neq p_{i}$ y $\psi(v)=3$, entonces $4h(v)=\sum_{w\sim v}h(w)$, donde $w\sim v$ significa que $w$ es vecino de $v$. Sugerencia: contar el número de granos que entran y salen en $v$ durante la relajación.
Se puede demostrar que la función desplome de $\phi+\sum_{i=1}^{n}\delta_{p_{i}}$ casi en todo punto es de la forma $\text{min}_{(i,j)\in A}(a_{ij}+ix+iy)$; utilizando los resultados del Ejercicio 5 obtenemos que el conjunto $D_N$ aproxima una curva tropical.
[1] P. Bak. How nature works: the science of self-organized criticality. Springer Science & Business Media, 2013.
[2] P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise. Physical review letters, 59(4):381, 1987.
[3] D. Dhar. Theoretical studies of self-organized criticality. Phys. A, 369(1):29-70, 2006.
[4] B. Gutenberg and C. F. Richter. Magnitude and energy of earthquakes. Annals of Geophysics, 9(1):1-15, 1956.
[5] N. Kalinin and M. Shkolnikov. Tropical curves in sandpile models (en preparación). arXiv:1502.06284, 2015.
[6] N. Kalinin and M. Shkolnikov. Tropical curves in sandpiles. arXiv:1509.02303, 2015.
[7] L. Levine, W. Pegden, and C. K. Smart. The apollonian structure of integer superharmonic matrices. arXiv preprint arXiv:1309.3267, 2013.
[8] W. Pegden and C. K. Smart. Convergence of the Abelian sandpile. Duke Math. J., 162(4):627-642, 2013.
