Imaginemos un Colegio Nacional sin matemáticas; peor aún, imaginemos un mundo sin matemáticas. En tal modo, hemos de abandonar las nociones precisas de número y de forma; hemos de abdicar a la aritmética y a la geometría, al álgebra y a la teoría de las probabilidades.
Perder el número es perder, también, nuestra noción del tiempo; los antropólogos nos cuentan de culturas aborígenes australianas en donde las personas no saben contar arriba del cuatro; no lo necesitan: en los pueblos nómadas, la acumulación es imposible; tampoco es necesario contar las horas, los días, los años ni la edad del universo. La edad del tiempo, es decir, la edad del universo que la cosmología nos revela permanece secreta si abandonamos el número; ante tal cifra arduamente conocida, nuestra imaginación es como el encadenado morador de la oscura caverna de Platón: la matemática es capaz de servirnos para iluminar nuestras prisiones mentales.
Setenta y cinco años antes de los Elementos, de Euclides, en el mismo libro donde aparece la alegoría de la caverna (el séptimo de La república), Platón (a través de las voces de Sócrates y Glaucón) nos exige familiaridad con la aritmética para adentrarnos en el estudio de la filosofía:
Sócrates: “Sería conveniente, Glaucón, establecer por ley este estudio y persuadir a los que van a participar de los más altos cargos del estado a que se apliquen al arte del cálculo, pero no como aficionados, sino hasta llegar a la naturaleza de los números por medio de la inteligencia; y tampoco para hacerlo servir en compras y ventas, como hacen los comerciantes y mercaderes, sino con miras a la guerra y a facilitar la conversión del alma desde la génesis hacia la verdad y la esencia”
Glaucón: “Es muy bello lo que dices (Sócrates).”
Un poco más adelante, Platón nos dice que la geometría “es el conocimiento de lo que siempre es…; es (algo) que atrae al alma hacia la verdad y (...) produce que el pensamiento del filósofo dirija hacia arriba lo que, en el presente, dirige indebidamente hacia abajo. En voz de Sócrates, Platón prescribe el estudio de la geometría porque “incluso sus productos accesorios no son pequeños”: son útiles en la guerra y, por su dificultad, su práctica es de rigor en la comprensión de todos los demás temas que son un reto para el intelecto humano.
Como vemos, la influencia de la guerra en las matemáticas y, de las matemáticas en la guerra es anterior a los Elementos, de Euclides, texto que inaugura la matemática como ciencia deductiva.
Vladimir Arnold, al reflexionar sobre la unidad de la matemática, comienza con una aguda observación:
Todas las matemáticas se pueden dividir en tres partes: la criptografía (pagada por la CIA, la KGB y similares); la hidrodinámica (apoyada por los fabricantes de submarinos atómicos) y la mecánica celeste (financiada por el ejército y por otras instituciones que tratan con misiles, como la NASA).
La criptografía ha engendrado la teoría de los números, la geometría algebraica sobre campos finitos, el álgebra, la combinatoria y las computadoras.
La hidrodinámica procreó el análisis complejo, las ecuaciones diferenciales parciales, los grupos y álgebras de Lie, la teoría de cohomología y la computación científica.
La mecánica celeste es el origen de los sistemas dinámicos, el álgebra lineal, la topología, el cálculo de variaciones y la geometría simpléctica.
La existencia de misteriosas relaciones entre todos los diferentes dominios es la característica más deslumbrante y encantadora de las matemáticas (y carece de explicación racional).
Imaginar un mundo sin matemáticas, no sólo es imaginar un mundo más confuso, más oscuro, más alejado de la salida de la caverna, más aterrador, sino que es, también, imaginar un mundo con un arte de la guerra menos refinado que sea, por lo tanto, incapaz de la destrucción generalizada de la cultura, de la civilización y de la vida humana y, quizá, hasta incapaz de la destrucción de la vida de todo ser en el planeta; así que, repito, imaginar un mundo sin matemáticas es, posiblemente, también, imaginar un mundo menos aterrador.
La primera influencia de las matemáticas en la historia de las ideas es a través de la filosofía (aunque, desde el principio, la matemática es más una hermana de la filosofía que una madre o una hija, como la física). La influencia entre la matemática y otras ramas del pensamiento puede ser discreta y mutua, como ocurre con la física, o indirecta y sutilmente mutua, como ocurre con las leyes (lo sistemas legales).
No hay abogado hoy en día que, en sus estudios, no haya tomado un curso de lógica, y la lógica es la disciplina que más claramente se encuentra en la tierra donde las matemáticas y la filosofía se encuentran y se confunden. La lógica es anterior a los métodos simbólicos tan característicos de la matemática, pero la matemática es, también, anterior a dichos métodos simbólicos. Los códigos legales pueden considerarse un intento de“geometrizar” los conflictos humanos a la manera de los Elementos, de Euclides. La aspiración de dichos códigos es estar bajo la sombra de la lógica como lo está la geometría.
En la dirección contraria, es en los dilemas legales donde se encuentra la semilla de la moderna teoría de las probabilidades (más aún que en los juegos de azar): en los litigios es de vital importancia la habilidad de avalar de alguna manera la evidencia disponible. Hay ejemplos tempranos de razonamientos probabilistas para decidir el resultado de un litigio ya en el Código de Hammurabi (circa 2200 a. de C). Las dos grandes compilaciones de leyes de la antigüedad tardía son el Talmud y el Corpus de Ley Civil en Roma; aunque la palabra “probabilidad” no aparece explícitamente, se puede leer en el Talmud (James Franklin, The sense of conjecture): “Una casa de derrumbó sobre un hombre y su mujer. Los herederos del esposo dicen: 'La mujer murió primero y su esposo, después'; los herederos de la mujer dicen: 'El esposo murió primero y la esposa, después'…”, Bar Kappara (siglo II a. de C) enseñaba: “Porque éstos son herederos y ésos son herederos deben dividir (la herencia).” Los matemáticos contemporáneos reconocen de inmediato la noción probabilista de “valor esperado”.
Así la influencia entre la matemática y los sistemas legales es un ejemplo de un fenómeno más amplio: la influencia mutua entre las matemáticas y la cultura.
Que la cultura influencia a las matemáticas a mí me parece evidente. Arnold está de acuerdo con esto cuando describe a todas las matemáticas contemporáneas como descendientes directas de las motivaciones militares.
Aquí cabe recordar la tesis de La estructura de las revoluciones científicas, de Thomas S. Kuhn. Kuhn observa que la ciencia “normal” avanza lenta y de modo continuo hasta que una anomalía es detectada de modo casi inconsciente (no hay siquiera palabra para referir esta anomalía en el lenguaje del paradigma reinante) hasta que alguien (oportunista o valiente) toma la “anomalía” seriamente; en dicho momento hay una especie de discontinuidad (o singularidad) en la historia de la ciencia; sigue un cierto periodo en el que la ciencia “normal” sufre una revolución y se instala, al fin, un nuevo paradigma. En la visión de Arnold:
“La experiencia de los siglos pasados demuestra que el desarrollo de las matemáticas no se debió al progreso técnico (que consume la mayoría de los esfuerzos de los matemáticos en cualquier momento dado), sino más bien a los descubrimientos de interrelaciones inesperadas entre los diferentes dominios (que esos esfuerzos hicieron posibles).
Los preciados artículos técnicos del estado del arte de los diversos dominios matemáticos nos recuerdan a la guerra de trincheras. La descripción del frente de batalla con sus curvas y movimientos diarios es, desde luego, muy importante para las partes”
Para Kuhn, para Arnold, para Max Planck, es claro que el cambio de paradigma será origen de una fuerte oposición por los miembros del canon establecido, en palabras de Planck (Autobiografía científica):
Una nueva verdad científica no triunfa convenciendo a sus oponentes y haciéndolos ver la luz, sino porque sus oponentes tarde o temprano se mueren, y una nueva generación crece familiarizada con esta nueva verdad.
En palabras de Arnold:
“La mayoría de los científicos en un momento dado están forjando herraduras y naturalmente reaccionan negativamente a las limusinas.”
Israel Gelfand insistía continuamente en que:
Los matemáticos nunca aprecian las ideas nuevas, solo el último paso dado a la cumbre de la montaña cuenta en este alpinismo.
La estructura del establecimiento científico y de las burocracias resultantes hacen que las instituciones de financiamiento a la ciencia (públicas y privadas) no solo apoyen el paradigma en curso, sino que, además, castiguen el paradigma neonato: su originalidad es indistinguible del error para los comités evaluadores. Sumergidos en los paradigmas vigentes, es muy difícil recibir las buenas nuevas de una obra maestra: las evaluaciones se vuelven conteos abstractos de puntos en una instancia de la falacia lúdica (dicha falacia consiste en confundir el definido y simplificado mundo de los juegos con la vida real mucho más rica en complejidades; por ejemplo, no es lo mismo tener una pregunta claramente formulada en un campo de la ciencia bien establecido que descubrir, por medio de intimaciones con la realidad platónica, un nuevo universo matemático). En tales circunstancias, es muy tentador tratar de falsificar el milagro de la originalidad.
De los milagros creativos, nos dice Gabriel Zaid (miembro del Colegio Nacional):
Las grandes obras (famosas o no) son un milagro, una zona de la realidad donde la vida sube de nivel y nos habla. La conciencia absorta se pierde y se recupera con un foco más claro. La realidad adquiere más sentido, y nosotros también. Las grandes obras nos animan, nos vuelven más inteligentes y más libres, más imaginativos y creadores. Es natural hablar de esa experiencia extraordinaria, compartirla, traerla y extenderla a la vida ordinaria. La conversación acerca de las grandes obras puede ser, en sí misma, un milagro creador. O mera resonancia de los nombres que suenan.
El ruido de la fama tiene también su más allá, que baja hasta la vida ordinaria repartiendo autógrafos, como un sacramento. El escultor se vuelve una escultura: un objeto de admiración o idolatría sobre el pedestal que lo separa del trato normal con los demás. Rilke dice que Rodin era solitario antes de volverse famoso, y se quedó más solo cuando lo fue, porque la fama es una acumulación de malos entendidos sobre los nombres que van apareciendo.
Ahora hay expertos en provocar malos entendidos. Venden el secreto de crear una personalidad que suba al pedestal de la fama, atrayendo los reflectores. Pero no hay expertos en la creación de obras maestras.
Pero Gabriel Zaid también nos advierte que las evaluaciones abstractas, en puntos medibles, son el origen de la presión trepadora:
Paradójicamente, la presión trepadora desemboca en el ascenso de los mediocres al poder y la gloria. Se supone que el darwinismo ferozmente competitivo debería entronizar a los excelentes, no a los incompetentes. Pero las carreras trepadoras están llenas de pruebas cuyos resultados no se miden tan fácilmente como el tiempo en una alberca olímpica. Evaluar a una persona para un puesto o premio, evaluar una obra, no puede ser exacto. Es tan discutible que distintos jurados honestos y capaces pueden llegar a conclusiones opuestas. Si, para evitar la discusión, todo se limita a mediciones mecánicas, el resultado es absurdo. El candidato con más puntos puede ser un mediocre. El producto que más vende puede ser mediocre. Lo más calificado en las encuestas puede ser mediocre. El programa con más rating puede ser una porquería. La competencia trepadora no siempre favorece al más competente en esto o en aquello, sino al más competente en competir, acomodarse, administrar sus relaciones públicas, modelarse a sí mismo como producto deseable, pasar exámenes, ganar puntos, descarrilar a los competidores, seducir o presionar a los jurados, conseguir el micrófono y los reflectores, hacerse popular, lograr que ruede la bola acumulativa hasta que nadie pueda detenerla. La selección natural en el trepadero favorece el ascenso de una nueva especie darwiniana: el mediocre habilis. No es imposible que una persona competente en esto o en aquello sepa también acomodarse y trepar, pero no es necesario. Lo importante es lo último. Una persona más competente aún puede ser descartada en la lucha trepadora, si no domina las artes del mediocre habilis. Así se llega a las circunstancias en las cuales un perfecto incompetente acaba siendo el número uno. Desgraciadamente, aquellos que no tienen interés en lo que están haciendo, sino en ser aprobados, presionan hasta que se salen con la suya. Muchos años después, cuando llegan al poder y la gloria, son los modelos ejemplares de una sociedad reducida a trepar, y la degradación se extiende desde arriba. Muchos lo lamentan, sin ver que todo empieza abajo: cuando maestros, jurados, editores, para no sentirse verdugos, se vuelven cómplices del trabajo mal hecho.
Resulta evidente, pues, que no solo el paradigma en curso influye profundamente la elección de preguntas, problemas y oportunidades que enfrentan los matemáticos en un momento dado, sino que el etos de una sociedad tendrá una influencia muy importante en el etos de la matemática.
En tanto al etos creador, Zaid nos ofrece un bello contrapunto:
(…) no hay expertos en la creación de obras maestras. Quienes, movidos por la inspiración, el azar, el oficio, tuvieron la buena suerte de atrapar un milagro, no deberían quejarse demasiado de ser famosos o no serlo. Después de todo, les tocó lo mejor.
Sor Juana Inés de la Cruz nos obsequia algo similar en estos bellos endecasílabos que describen el etos clásico de la matemática:
En perseguirme, mundo, ¿qué interesas?
¿En qué te ofendo, cuando sólo intento
poner bellezas en mi entendimiento
y no mi entendimiento en las bellezas?
Yo no estimo tesoros ni riquezas;
y así, siempre me causa más contento
poner riquezas en mi pensamiento
que no mi pensamiento en las riquezas.
Y no estimo hermosura que, vencida,
es despojo civil de las edades,
ni riqueza me agrada fementida,
teniendo por mejor en mis verdades,
consumir vanidades de la vida
que consumir la vida en vanidades.
Este modo idealista de ver la vida de la actividad matemática pura clásica es compartida en mayor o menor medida por otras ciencias y actividades (como la literatura, la física, la química, la matemática aplicada, etc.) y causa mayor o menor perplejidad entre la sociedad en general, dependiendo de los valores dominantes de la época, en tanto sean compartidos o no. Por ejemplo, uno de los grandes historiadores del siglo XX, Eric Hobsbawm, en su magistral Historia del siglo XX (titulada en el original como The Age of Extremes), tiene un capítulo titulado “Brujos y Aprendices” (que es una clara referencia al memorable segmento con Mickey Mouse en la película de 1940, producida por Walt Disney, y titulada Fantasía). Dicho capítulo está dedicado a la influencia de la ciencia en la historia reciente. Hobsbawm incluye las matemáticas entre las ciencias naturales y comienza diciendo:
Ningún otro período de la historia ha sido más impregnado por las ciencias naturales, ni más dependiente de ellas, que el siglo xx. No obstante, ningún otro período, desde la retractación de Galileo, se ha sentido menos a gusto con ellas. Esta es la paradoja con que los historiadores del siglo deben lidiar.
En este capítulo, Hobsbawm explica lúcidamente la perplejidad de la sociedad en general sobre los contenidos, éxitos, métodos, etos y consecuencias de la ciencia natural. Por ejemplo, nos dice:
(…) estas tecnologías se basaban en descubrimientos y teorías tan alejados del entorno cotidiano del ciudadano medio, incluso en los países más avanzados del mundo desarrollado, que sólo unas docenas, o a lo sumo unos centenares de personas en todo el mundo podían entrever inicialmente que tenían implicaciones prácticas. Cuando el físico alemán Otto Hahn descubrió la fisión nuclear a principios de 1939, incluso algunos de los científicos más activos en ese campo, como el gran Niels Bohr (1885-1962), dudaron de que tuviese aplicaciones prácticas en la paz o en la guerra, por lo menos en un futuro previsible. Y si los físicos que comprendieron su valor potencial no se lo hubieran comunicado a sus generales y a sus políticos, éstos no se hubieran enterado de ello, salvo que fuesen licenciados en física, lo que no era frecuente.
Por poner otro ejemplo, el célebre texto de Alan Turing de 1935, que proporcionaría los fundamentos de la moderna teoría informática, había sido escrito originalmente como una exploración especulativa para lógicos matemáticos. La guerra dio a él y a otros científicos la oportunidad de traducir la teoría a unos primeros pasos de la práctica empleándola para descifrar códigos, pero cuando el texto se publicó originalmente, nadie, a excepción de un puñado de matemáticos, pareció enterarse de sus implicaciones. Este genio de tez pálida y aspecto desmañado, […] no era una figura destacada ni siquiera en su propia facultad universitaria, o al menos yo no lo recuerdo como tal. Incluso cuando los científicos se entregaban a la resolución de problemas de importancia conocida, sólo unos pocos cerebros aislados en una pequeña parcela intelectual podían darse cuenta de lo que se traían entre manos. Por ejemplo, el autor de estas líneas era un becario en Cambridge durante la misma época en que Crick y Watson preparaban su triunfal descubrimiento de la estructura del ADN (la «doble hélice»), que fue inmediatamente reconocido como uno de los grandes acontecimientos científicos del siglo. Sin embargo, aunque recuerdo que en aquella época coincidí con Crick en diversos actos sociales, la mayoría de nosotros ignorábamos por completo que tan extraordinarios acontecimientos tenían lugar a pocos metros de la puerta de nuestra facultad, en laboratorios ante los que pasábamos regularmente y en bares donde íbamos a tomar unas copas. No es que tales cuestiones no nos interesasen, sino que quienes trabajaban en ellas no veían la necesidad de explicárnoslas, ya que ni hubiésemos podido contribuir a su trabajo, ni siquiera comprendido exactamente cuáles eran sus dificultades.
No obstante, por más esotéricas o incomprensibles que fuesen las innovaciones científicas, una vez logradas se traducían casi inmediatamente en tecnologías prácticas. Así, los transistores surgieron, en 1948, como un subproducto de investigaciones sobre la física de los sólidos, es decir, de las propiedades electromagnéticas de cristales ligeramente imperfectos (sus inventores recibieron el premio Nobel al cabo de ocho años); como sucedió con el láser (1960), que no surgió de estudios sobre óptica, sino de trabajos para hacer vibrar moléculas en resonancia con un campo eléctrico. Sus inventores también fueron rápidamente recompensados con el premio Nobel, como lo fue, tardíamente, el físico soviético de Cambridge Peter Kapitsa (1978) por sus investigaciones acerca de la física de bajas temperaturas, que dieron origen a los superconductores.
Y más adelante continúa:
(…) la norma humana de finales de siglo XX (era): la realización de milagros con una tecnología científica de vanguardia que no necesitamos comprender o modificar, aunque sepamos o creamos saber cómo funciona. Alguien lo hará o lo ha hecho ya por nosotros. Porque, aun cuando nos creamos unos expertos en un campo u otro, es decir, la clase de persona que podría hacer funcionar un aparato concreto estropeado, que podría diseñarlo o construirlo, enfrentados a la mayor parte de los otros productos científicos y tecnológicos de uso diario somos unos neófitos ignorantes. Y aunque no lo seamos, nuestra comprensión de lo que hace que una cosa funcione, y de los principios en que se sustenta, son conocimientos de escasa utilidad, como lo son los procesos técnicos de fabricación de las barajas para el jugador (honrado) de póker. Los aparatos de fax han sido diseñados para que los utilicen personas que no tienen ni la más remota idea de por qué una máquina reproduce en Londres un texto emitido en Los Ángeles. Y no funcionan mejor cuando los manejan profesores de electrónica.
(…) Pese a todo, el siglo xx no se sentía cómodo con una ciencia de la que dependía y que había sido su logro más extraordinario. El progreso de las ciencias naturales se realizó contra un trasfondo de recelos y temores que, ocasionalmente, se convertía en un arrebato de odio y rechazo hacia la razón y sus productos.
(…) Los recelos y temores hacia la ciencia se vieron alimentados por cuatro sentimientos: el de que la ciencia era incomprensible; que sus consecuencias (ya fuesen) prácticas (o morales) eran impredecibles y probablemente catas- tróficas; que ponía de relieve la indefensión del individuo y que minaba la autoridad. Sin olvidar el sentimiento de que la ciencia era intrínsecamente peligrosa en la medida en que interfería el orden natural de las cosas. Los dos sentimientos que he mencionado en primer lugar eran compartidos por científicos y legos; los dos últimos correspondían más bien a los legos. Las personas sin formación científica sólo podían reaccionar contra su sensación de impotencia intentando explicar lo que «la ciencia no podía explicar», en la línea de la afirmación de Hamlet de que «hay más cosas en el cielo y la tierra ... de las que puede soñar tu filosofía»; negándose a creer que la «ciencia oficial» pudiera explicarlas y ansiosos por creer en lo inexplicable porque parecía absurdo. En un mundo desconocido e inexplicable todos nos enfrentaríamos a la misma impotencia. Cuanto más palpables fuesen los éxitos de la ciencia, mayor era el ansia por explicar lo inexplicable.
(…) La verdad es que la «ciencia» (un término por el que mucha gente entiende las ciencias naturales «duras») era demasiado grande, demasiado poderosa, demasiado indispensable para la sociedad en general y para sus patrocinadores en particular como para dejarla a merced de sí misma. La paradoja de esta situación era que, en último análisis, el poderoso motor de la tecnología del siglo xx, y la economía que ésta hizo posible, dependían cada vez más de una comunidad relativamente minúscula de personas para quienes estas colosales consecuencias de sus actividades resultaban secundarias o triviales. Para ellos la capacidad humana de viajar a la Luna o de transmitir vía satélite las imágenes de un partido de fútbol disputado en Brasil para que pudiera verse en un televisor de Dusseldorf, era mucho menos interesante que el descubrimiento de un ruido de fondo cósmico que perturbaba las comunicaciones, pero que confirmaba una teoría sobre los orígenes del universo. No obstante, al igual que el antiguo matemático griego Arquímedes, sabían que habitaban, y estaban ayudando a configurar, un mundo que no podía comprender lo que hacían, ni se preocupaba por ello. Su llamamiento en favor de la libertad de investigación era como el grito de Arquímedes a los soldados invasores, contra quienes había diseñado artefactos militares para la defensa de su ciudad, Siracusa, en los que ni se fijaron cuando le mataban: «Por Dios, no destrocéis mis diagramas». Era comprensible, pero poco realista. Sólo los poderes transformadores de los que tenían la llave les sirvieron de protección, porque éstos parecían depender de que se permitiera seguir a su aire a una elite privilegiada e incomprensible —hasta muy avanzado el siglo, incomprensible incluso por su relativa falta de interés en los signos externos de la riqueza y el poder—. Todos los estados del siglo xx que actuaron de otra manera tuvieron ocasión de lamentarlo. En consecuencia, todos los estados apoyaron la ciencia, que, a diferencia de las artes y de la mayor parte de las humanidades, no podía funcionar de forma eficaz sin tal apoyo, a la vez que evitaban interferir en ella en la medida de lo posible. Pero a los gobiernos no les interesan las verdades últimas (salvo las ideológicas o religiosas) sino la verdad instrumental. Pueden a lo sumo fomentar la investigación «pura» (es decir, la que resulta inútil de momento) porque podría producir algún día algo útil, o por razones de prestigio nacional, ya que en este terreno la consecución de premios Nobel se antepone a la de las medallas olímpicas, y se valora mucho más. Estos fueron los fundamentos sobre los que se erigieron las estructuras triunfantes de la investigación y la teoría científica, gracias a las cuales el siglo xx será recordado como una era de progreso y no únicamente de tragedias humanas.
El historiador Hobsbawm habla por un gran segmento de la sociedad al describir estas contradicciones. ¿Pero de dónde salen los matemáticos, si no de la sociedad?
Se dice que en el siglo III a. de C., en respuesta a las frustraciones que el rey Ptolomeo I Sóter, elegido de Ra, amado de Amón tenía en aprender las matemáticas, Euclides hizo la aguda observación de que “no hay Camino Real hacía las matemáticas” (en referencia al Camino Real Persa de Darío I, siglo V a. de C.). La matemática como actividad social es nada sin sus vocaciones, sin los adolescentes que encuentran irresistible el arduo y nada “real” camino hacia la matemática, esos adolescentes que prefieren poner bellezas en su entendimiento que poner su entendimiento en las bellezas.
Yuri Manin opina que “la gente haciendo investigación científica hoy en día hace lo mismo que se hacía hace 200 años. Esto es, en parte, porque nosotros no elegimos las matemáticas como nuestra profesión, sino que las matemáticas nos eligen. Y la matemática elige cierto tipo de persona, personas que se cuentan tan solo en miles en cada generación en todo el mundo. Y todos ellos tienen la marca del tipo de gente que la matemática ha elegido”.
Me gusta imaginar la mano de la matemática siendo ofrecida a Samuel Gitler cuando, lejos de su querido México, poco después de terminada la II guerra mundial, en un cuarto silencioso de San Antonio, Texas, Gitler aceptó dicha mano. Me gusta imaginar la primera vez que Gitler escuchó la palabra topología de la boca de Elí de Gortari en la Escuela Nacional Preparatoria, poco después de conocer a Raquel Goldwain.
En una bella descripción, Manin nos relata de cómo recibió el llamado de la matemática:
En algún momento de mi adolescencia temprana comencé a sentir una urgencia interior, euforia y desaliento: emoción y frustración causados por el improbable motivo de leer el curso de Cálculo de Granville, editado y publicado en ruso en 1935 por N. N. Lusin. Encontré este libro en el ático del apartamento de un amigo. Entre otras cosas usuales, contenía la notoria definición épsilon-delta de función continua. Después de sufrir con esta definición por un rato (era el ardiente verano de Crimea, y yo estaba sentado bajo la sombra de un polvoriento manzano), me enoje tanto que cavé una somera tumba para el libro entre las raíces, y ahí lo enterré, y lo dejé con desdén. Una hora después comenzó a llover. Corrí de regreso al árbol y exhumé a la pobre cosa. Y así aprendí que la amaba a pesar de todo.
Recuerdo una experiencia similar, en mi caso, era el inicio del invierno de 1984 y, en vez de manzano, había sofá y, en vez de ático, yo encontré el libro de Granville en español con su portada azul y roja (editorial Limusa) en la casa de Ricardo, amigo de mi papá y, para bien o para mal, yo nunca dudé: fue amor a primera vista.
La sensación de certidumbre, la experiencia platónica, la profundidad metafísica pero, sobre todo, la experiencia estética atraen a esos adolescentes (los de hoy, los que fuimos) a la matemática.
Caminar por la Alhambra en Granada (siglo XIV) y ver milagro decorativo tras milagro decorativo es, a su vez, un milagro estético en 17 patrones de simetría, y ni uno más. Para el matemático, este milagro asciende aún mas al imaginar al demoniaco John Horton Conway y al beatífico William Thurston usando mi amada teoría de orbidades para demostrar que la realidad ha decidido que solo haya 17 tales patrones. La existencia de estos mosaicos se debe a los artesanos de la tradición islámica; su no-existencia, a dos de las más exquisitas mentes norteamericanas del siglo XX. La matemática es una larga y bella conversación. La existencia es concreta; la no existencia, abstracta. La abstracción es una renunciación; es el arte del olvido: menos es más; abandonemos lo inesencial; como San Antonio Abad del Desierto, la abstracción del argumento abandona la sensualidad de las decoraciones islámicas y deja sólo la esencia que resulta serlo todo.
Pero me he adelantado y quizá debí comenzar por el principio. Jacob Bornowski fue polaco primero y después británico, fue matemático primero y después biólogo, historiador de la ciencia, dramaturgo, poeta e inventor. Es su magnum opus, El Ascenso del hombre, leemos:
La historia del hombre está dividida muy desigualmente. Por un lado se encuentra su evolución biológica: todas las etapas que nos separan de nuestros antepasados simios. Las cuales se prolongaron durante millones de años. Y por otro lado está la historia de su cultura la gran marejada de la civilización que nos separa de las pocas tribus de cazadores del África que sobreviven o de los recolectores de alimentos de Australia. Y toda esta segunda laguna cultural está de hecho apiñada en unos pocos miles de años. Se remonta solamente a unos doce mil años: algo más de diez mil años, pero mucho menos de veinte mil. A partir de este momento me concretaré a hablar acerca de estos últimos doce mil años, que contienen prácticamente todo el ascenso del hombre tal como lo entendemos ahora. Sin embargo, la diferencia entre los dos elementos – entre la escala de tiempo biológica y la cultural – es tan grande, que no puedo dejar de echarle una mirada retrospectiva.
Le tomó al hombre cuando menos dos millones de años, el cambiar de criatura oscura y pequeña con la piedra en la mano – el Australopithecus, en África Central – a su configuración moderna: el Homo sapiens. Esto constituye el paso de la evolución biológica, aunque la evolución biológica del hombre haya sido más rápida que la de cualquier otro animal. Pero, para el Homo sapiens, ha tomado mucho menos de veinte mil años el dar origen a las criaturas que tanto usted como yo aspiramos ser artistas y científicos, edificadores de ciudades y planificadores del futuro, lectores viajeros, exploradores anhelantes del hecho natural y de la emoción humana, inmensamente más ricos en experiencia y en imaginación que cualquiera de nuestros ancestros. Este es el paso de la evolución cultural; una vez iniciado, avanza como el cociente de aquellos dos elementos cuando menos cien veces más rápido que la evolución biológica.
Una vez iniciado: esta es la frase crucial. ¿Por qué comenzaron tan recientemente los cambios culturales que han hecho al hombre amo de la Tierra? Hace veinte mil años que el hombre, donde quiera que se encontrase, era forrajeador y cazador, cuya técnica más avanzada era la de incorporarse a un hato errante como todavía lo hacen los lapones. Hace diez mil años ya había cambiado y empezado, en ciertos lugares, a domesticar algunos animales y a cultivar algunas plantas; y este es el cambio a partir del cual la civilización despega. Resulta extraordinario pensar que sólo en los últimos doce mil años principió la civilización, tal como la entendemos. Tuvo que haber ocurrido una explosión extraordinaria hacia el año 10.000 a. de C y la hubo. Pero fue una explosión silenciosa. Se trataba del fin de la última Glaciación.
No abandonemos el “número” y repasemos brevemente algunos de los hitos de la cronología del progreso de Gabriel Zaid. Transcribo ahora un breve extracto de dicha cronología (que tiene una longitud original de 13 páginas):
¿Cómo se siente vivir en una exponencial? Se siente así: mira a tu alrededor. ¿Cómo es posible que nos haya tocado vivir en una era tan singular?
El principio antrópico es un mañoso argumento filosófico en cosmología (debido a Brandos Cartes y Robert Dicke) que más o menos dice en palabras de Stephen Hawking que “vemos el universo en la forma que es porque nosotros existimos (…) Sobre el tema de la formación del universo, si no fuese como es (o si no hubiese evolucionado como evolucionó) nosotros no existiríamos y, por lo tanto, preguntarse cómo es que existimos (o por qué no, "no existimos") no tiene sentido”. El principio antrópico trata de explicar las asombrosas coincidencias en las constantes universales de la física: parecen ajustadas finamente para la existencia de la vida y de la inteligencia humanas. La explicación ofrecida es que dado que existimos las constantes deben tener los valores que tienen, por que si no los tuviesen no existiríamos.Tiene al sabor de un argumento circular. Déjenme invertir el argumento.
¿Cómo es posible que he nacido tan próximo a la invención de la agricultura, tan cercano a la invención de la escritura? Ofreceré como explicación mi principio anti-antrópico (aunque deseo con todas mis fuerzas estar equivocado).
Asumamos por un instante que estamos más o menos a la mitad de la existencia de la humanidad, revisando la cronología de Zaid verificamos que esto quiere decir que a la humanidad le quedan algo así como millones de años (generosamente). Parece haber una contradicción: parece demasiado improbable haber nacido tan próximo a la cultura, la agricultura y la escritura. Y entonces la improbabilidad de haber nacido tan cercano a la invención de la escritura es el principio anti-antrópico: no hay seres humanos en fechas lejanas a la invención de la escritura.
Mi argumento es probabilista, pero podemos incluso pensar en mecanismos que lo expliquen: inventar la escritura, o la agricultura es quizá un error fatal.
Bertrand Rusell, el único matemático con un premio Nobel de literatura, nos dice sobre la agricultura en La conquista de la felicidad:
Con la introducción de la agricultura, la humanidad entró en un largo período de vileza, desgracia y locura, de las cuales sólo ahora se está liberando mediante la benéfica acción de la máquina.
Jared Diamond escribió un famoso ensayo llamado “El peor error en la historia de la raza humana”; su respuesta, la agricultura:
A la ciencia le debemos los cambios más grandes de nuestra imagen de autosuficiencia. La astronomía nos enseñó que nuestra Tierra no es el centro del universo, sino uno de los muchos cuerpos que flotan en el espacio. De la biología aprendimos que no fuimos especialmente creados por Dios, sino que hemos evolucionado junto con otras especies. Ahora, la arqueología esta mandado por tierra otra sagrada creencia: la historia humana durante el último millón de años ha sido una larga historia de progreso. En particular, descubrimientos recientes nos sugieren que la adopción de la agricultura, supuestamente nuestro paso más decisivo a una vida mejor, fue de varias maneras una catástrofe de la cual nunca nos hemos recuperado. Con la agricultura llegó la gran desigualdad social y sexual las enfermedades y el despotismo, que maldicen nuestra existencia.
(…)
Los Cazadores-recolectores practicaron la forma de vida más duradera, acertada y larga de la historia humana. En contraste, nosotros todavía estamos luchando con el problema en el que la agricultura nos ha metido, y no sabemos si podremos solucionarlo. Supongamos que un arqueólogo extraterrestre que nos ha visitado intenta explicar la historia humana a sus compañeros extraterrestres. Puede que él ilustre el resultado de su investigación mediante una analogía, usando un reloj de 24 horas, en el que una hora representa 100.000 años de tiempo real. Si la historia de la especie humana comenzó en la medianoche, ahora estaríamos casi al final de nuestro primer día. Vivimos como cazadores-recolectores casi la totalidad de ese día, desde la medianoche, pasando por la madrugada, el mediodía, y la puesta de sol. Finalmente, a las 11:54 pm, adoptamos la agricultura. Cuando se acerca la segunda media noche ¿Se extenderá gradualmente la difícil situación de los campesinos afectados por la hambruna hasta engullirnos a todos? ¿O acaso de alguna manera lograremos esas seductoras ventajas que imaginamos detrás de la brillante fachada de la agricultura, y que hasta la fechanos han escapado?
¿Es acaso la matemática y su revolución del siglo XVII (esencialmente ayer) el equivalente moderno de la agricultura? En la carta encíclica Laudato sí, el Papa Francisco introduce el término “rapidación”:
A la continua aceleración de los cambios de la humanidad y del planeta se une hoy la intensificación de ritmos de vida y de trabajo, en eso que algunos llaman «rapidación». Si bien el cambio es parte de la dinámica de los sistemas complejos, la velocidad que las acciones humanas le imponen hoy contrasta con la natural lentitud de la evolución biológica. A esto se suma el problema de que los objetivos de ese cambio veloz y constante no necesariamente se orientan al bien común y a un desarrollo humano, sostenible e integral. El cambio es algo deseable, pero se vuelve preocupante cuando se convierte en deterioro del mundo y de la calidad de vida de gran parte de la humanidad.
¿Es la matemática tan recientemente descubierta como actividad humana la principal responsable de la rapidación? ¿Debemos no solo imaginar, sino desear un mundo sin matemáticas?
La via negativa no solo es útil en teología para definir a Dios diciendo lo que no es. Yuri Manin propone una versión de la via negativa latina para responder:
La ciencia es amargamente reprochada por ayudar a los militares, destruir el ambiente, y en general contribuir a la loca euforia antes del desastre inminente. (…) ¿Debemos entonces enterrar el libro bajo las raíces del árbol y alejarnos con desdén?
Desde luego, no creo que debamos hacerlo. Estoy convencido de que la ciencia en general, y la matemáticas en particular no son la fuerza motriz de nuestra civilización. Cierto, nos ofrece mapas y vehículos, pero no decide a donde debemos ir. Pensar de otra manera es regresar a la noción arcaica del conocimiento como una forma de magia de acuerdo ala cual una persona que predice un eclipse (…) es un prestidigitador que hace que las cosas ocurran manipulando sus representaciones simbólicas.
En realidad, la función biológica del pensamiento no es provocar sino prevenir la acción automática, y uno puede argumentar que la función social primaria de la ciencia, como institución social en nuestros días, consiste en parar la actividad frenética de la sociedad pos-industial.
Déjenme ofrecer mi versión de lo mismo. Para mí la lección viene de la naturaleza misma: de la continuación analítica, del grupo de renormalización, de la catástrofe de Rayleigh-Jeans: de la catástrofe ultravioleta. La catástrofe ultravioleta en la naturaleza no ocurre, la naturaleza mostrando un sutil etos que incluye una asombrosa via negativa: por medio de cut-offs, asegura la existencia de la materia evitando las divergencias ultravioleta.
En otras palabras: no; no abandonemos jamás la razón, no abandonemos las matemáticas: no imaginemos un mundo sin matemáticas. Impongamos cut-offs razonables, renormalizemos la rapidación, permitamos nuestra existencia, evitemos nuestras divergencias y nuestras catástrofes.
Y nunca imaginemos un Colegio Nacional sin matemáticas.
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