Este extraordinario libro, que estudiábamos con asombro en 1991 Miguel Xicoténcatl y yo, ha sido uno de los que más ha influido en mi pensamiento matemático. Es una fortuna para los estudiantes mexicanos de licenciatura en matemáticas y física que el Dr. Guillermo Morales Luna haya hecho un trabajo tan cuidadoso de curaduría para que el Instituto Politécnico Nacional haya por fin publicado este tratado en tres volúmenes en 2015 después de una prolongada hibernación de tantos años.
Hace 30 años la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM) contaba con una sola carrera: la licenciatura en física y matemáticas. En su especialidad en matemáticas, la carrera era una rigurosa dieta de textos norteamericanos y rusos (cómo olvidar las gloriosas traducciones de MIR destinadas a Cuba en medio de la Guerra Fría). Había una componente adicional en todo matemático egresado de la ESFM, el espíritu de Cartan y Bourbaki caminaba lentamente por los pasillos del edificio 6 encarnado en el Prof. Olgierd Alf Biberstein.
Biberstein fue polaco, judío, ateo, políglota y bourbakista. Sus cursos eran legendariamente difíciles y maravillosamente estimulantes. El libro sigue fielmente el curso que Biberstein dictó a finales de los 80 y durante los 90 en la ESFM sobre los fudamentos de la teoría de variedades diferenciales en un estilo heredado directamente de Cartan: en efecto, Biberstein había estudiado bajo Cartan en Estrasburgo en algún momento de su vida.
Biberstein vivió tiempos turbulentos: siendo judío, de Polonia fue a Francia, de ahí a los Estados Unidos, a Canadá, a Chile, a Brasil y, finalmente, a México, donde encontró la calma que lo eludió toda su vida. Nunca se casó, y era amante de los gatos que recibían de él nombres diabólicos; amaba las cantatas de Bach (tradujo de puño y letra varias de éstas para mí del alemán y me prestó los LP de 33 revoluciones). Su tesis doctoral versó sobre los grupos de Lie y sus aplicaciones en geometría diferencial. Durante su periodo mexicano fue uno de los profesores más influyentes de nuestra generación. Por ejemplo, mi tesis de licenciatura (que se encuentra en la biblioteca de la ESFM) es una elaboración sobre temas de este libro.
Como dije, Biberstein era políglota y hablaba, al menos, alemán, francés, inglés, portugués y un impecable español, si acaso ligeramente afrancesado. Me contaba con tristeza que el polaco se le escapaba cada vez más rápido. Los textos de Biberstein son muy cuidadosos y el uso del lenguaje es muy preciso: la elección de palabras para la terminología matemática hereda la pasión bourbakista y francesa, en general, por la poesía. Así, por ejemplo, en la página 57 del volumen 3, encontramos que Biberstein llama tarugo al producto de intervalos reales $I_1 \times \ldots \times I_n$. Nombre que yo encuentro muy hermoso, pero que los lectores jóvenes del texto tendrán que consultar en un diccionario. Cada que Grothendieck me hacía revisar el diccionario francés me recordaba un poco a Biberstein. Fue un gran educador y, sobre este asunto, tenía fuertes opiniones: le gustaba recordar que José Ádem le dijo en alguna ocasión que “hay gente que cree que hay dos tipos de matemáticas, las que educan y las que no”.
El libro no deja nada a la imaginación: todo está definido con absoluta precisión (precisión heredada de Bourbaki) y todo demostrado en detalle. Esto no hace que el libro sea ni difícil de leer ni abigarrado: al contrario, la elección de los temas es suficientemente cuidadosa que todo fluye con perfecta naturalidad.
El volumen 1 (218 páginas) es un maravilloso texto de álgebra multilineal que todo estudiante debería conocer por completo. Tiene un tratamiento muy bello del operador de Hodge, al nivel del álgebra lineal, sobre espacios vectoriales con una métrica que incluye la generalización más natural a cualquier dimensión del producto vectorial clásico en dimensión 3 (el producto cruz).
El volumen 2 es el más emocionante de los tres. Comienza con un curso de cálculo diferencial en espacios afines normados, no necesariamente de dimensión finita. Continúa con el cálculo diferencial en variedades diferenciales de tipo $C^k$ (donde $k$ puede ser finito) y concluye aplicando todo esto al estudio de las propiedades básicas de las subvariedades. La atención al detalle es absoluta: cada proposición, cada teorema tiene exactamente las hipótesis necesarias; el teorema de Schwartz sobre las derivadas parciales es el teorema de H. A. Schwartz. El respeto al lector es obvio. La sensación de misterioSin duda, la tesis doctoral de mi estudiante Daniel Maya (en preparación) es una elaboración sobre el hecho de que un modo de interpretar este misterio es por medio de la super-simetría, que es un fenómeno cuántico. Los temas clásicos de los que habla Biberstein son aún urgentes en la investigación contemporanea., y de gran arte envuelve todo el texto: por ejemplo, en uno de los momentos culminantes de la obra, en la sección 7.4, leemos: “El importante operador llamado “diferencial exterior”, de raíces profundas y algo misteriosas [...] es un descubrimiento del gran geómetra francés Elie Cartan (1869-1951).”
El tercer volumen trata sobre la integración en variedades diferenciales y en variedades riemannianas. Nuevamente, Biberstein no pierde una sola oportunidad: por ejemplo, inmediatamente después de la fórmula de Stokes-Cartan (no solamente de Stokes), se demuestra elegantemente el teorema del punto fijo de Brouwer. La obra concluye con las fórmulas clásicas del cálculo vectorial (rotacionales, gradientes, divergencias) dejándolo a uno listo para un curso en electromagnetismo, o en teorías de calibración no abelianas, pues los grupos de Lie nunca son ignorados y sus fundamentos se cubren en detalle.
Una pequeño y lamentable detalle es que la presente edición tiene algunas erratas en las referencias (por ejemplo, en la línea 18 de la página 151 del volumen 3) lo cual ocurre en varios lugares, pero ésta es una queja menor.
Hay obras cuya lectura nos dejan pensativos y con la sensación de ser más inteligentes de lo que éramos al empezarlas (como el Quijote): lo mismo me ha pasado al releer emocionado este maravilloso libro sobre las notas de Biberstein, amorosamente cuidado por Guillermo Morales Luna.
[1] Guillermo Morales Luna, Variedades Diferenciables: un enfoque debido a O. A. Biberstein, Insituto Politécnico Nacional, SEP, México, 2015.
