Continuamos nuestra serie dedicada a los problemas de olimpiadas relacionadas con las matemáticas avanzadas con un problema propuesto por el autor de este artículo para el concurso “Konhauser Problem Fest”, en 2014.
Para resolver este problema, sumemos la segunda, tercera y cuarta columna a la primera para obtener: \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{cccc} a^3+b^3+3ab-1&b^3&3ab&-1\\ a^2+b^2+2ab-1&a^2&b^2&2ab\\ a^2-b^2+2b-1&-1&a^2&-b^2\\ a+b-1&b&-1&a \end{array} \right|. \end{eqnarray*} Observemos que: \begin{alignat*}{1} a^2+b^2+2ab-1&=(a+b)^2-1=2014^2-1=2013\times 2015\\ &=61\times 33\times 2015,\\ a^2-b^2+2b-1&=a^2-(b-1)^2=(a+b-1)(a-b+1)\\ &=61\times 33(a-b+1),\\ a+b-1&=2013=61\times 33. \end{alignat*} Lo que queda de demostrar es que $a^3+b^3+3ab-1$ es divisible por $61$. Denotemos $c=-1$ para transformar esta expresión en $a^3+b^3+c^3-3abc$. En este momento, podemos utilizar la factorización \begin{eqnarray}\label{cremona1} a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \end{eqnarray} De aquí, obtenemos que $a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+3ab-1$ es divisible por $a+b+c=a+b-1=2013=61\times 33$ y, dado que cada entrada de la primera columna es divisible por $61$, concluimos que el determinante es divisible por $61$.
Regresemos a la fórmula (\ref{cremona1}). Es claro que esta fórmula se puede verificar por la multiplicación directa de los factores en la parte derecha; sin embargo, hay varios métodos más elegantes para demostrarla. Por ejemplo, si denotamos $a+b=s$, entonces \begin{alignat*}{1} a^3+b^3+c^3-3abc&=a^3+b^3+3abs-3abs+c^3-3abc\\ &=(a+b)^3-3abs+c^3-3abc\\ &=s^3-3abs+c^3-3abc\\ &=(s+c)(s^2+c^2-sc-3ab)\\ &=(a+b+c)[(a+b)^2+c^2-(a+b)c-3ab)\\ &=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \end{alignat*}
Otra posibilidad es considerar el polinomio \begin{eqnarray*} P(t)=(t-a)(t-b)(t-c)=t^3-(a+b+c)t^2+(ab+bc+ca)t-abc, \end{eqnarray*} con raíces $a,b,$ y $c$. Sumando las tres igualdades $P(a)=0$, $P(b)=0$, $P(c)=0$, obtenemos: \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)(a+b+c)\\ -3abc=0. \end{eqnarray*} Por tanto, \begin{alignat*}{1} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)\\ &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \end{alignat*}
Sin embargo, la idea más profunda, y con posibilidades de generalización, es calcular el determinante circulante, \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|, \end{eqnarray*} de dos modos:
En la segunda situación podemos también sumar la segunda columna multiplicada por la raíz de la unidad $\epsilon=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ y la tercera multiplicada por $\epsilon^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ a la primera para obtener: \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} a+\epsilon b+\epsilon^2c&b&c\\ c+\epsilon a+\epsilon^2b&a&b\\ b+\epsilon c+\epsilon^2a&c&a \end{array} \right|= \left| \begin{array}{ccc} a+\epsilon b+\epsilon^2c&b&c\\ \epsilon ( a+\epsilon b+\epsilon^2c) &a&b\\ \epsilon^2(a+\epsilon b+\epsilon^2 c)&c&a \end{array} \right|\\ = (a+\epsilon b+\epsilon^2c)\left| \begin{array}{ccc} 1&b&c\\ \epsilon &a&b\\ \epsilon^2 &c&a \end{array} \right|. \end{eqnarray*}
De mismo modo, trabajando con $\epsilon^2$ en lugar de $\epsilon$, obtenemos: \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|= (a+\epsilon^2b+\epsilon c)\left| \begin{array}{ccc} 1&b&c\\ \epsilon^2&a&b\\ \epsilon&c&a \end{array} \right|. \end{eqnarray*} De aquí no es difícil deducir que: \begin{eqnarray}\label{circulant} \left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|=(a+b+c)(a+\epsilon b+\epsilon^2c)(a+\epsilon^2b+\epsilon c). \end{eqnarray} Esta fórmula se puede generalizar para todos los determinantes circulantes de la siguiente forma: \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{ccccc} a_0&a_1&a_2&\cdots &a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&a_1&\cdots &a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&a_3&\cdots &a_0 \end{array} \right|=\prod_{j=0}^{n-1}(a_0+\epsilon ^ja_1+\cdots +\epsilon^{(n-1)j}a_{n-1}), \end{eqnarray*} donde $\epsilon=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$. La primera demostración de esta identidad fue publicada por Luigi Cremona en [2]L. Cremona, Intorno ad un teorema de Abel, Annali di Scienze Matematiche i Fisiche, 7 (1856), 99-105.. La demostración de Cremona utiliza la matriz de la transformada de Fourier discreta: \begin{eqnarray*} {\mathcal F}_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{ccccc} 1&1&1&\cdots &1\\ 1&\epsilon&\epsilon^2&\cdots &\epsilon^{n-1}\\ 1&\epsilon^2&\epsilon^4&\cdots &\epsilon^{2(n-1)}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 1&\epsilon^{n-1}&\epsilon^{2(n-1)}&\cdots &\epsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right). \end{eqnarray*} Si denotamos $f_j(t)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jt^j$, entonces: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_0&a_1&\cdots &a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&\cdots &a_{n-2}\\ \vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&\cdots &a_0 \end{array} \right)\times \frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots &1\\ 1&\epsilon&\cdots &\epsilon^{n-1}\\ 1&\epsilon^2&\cdots &\epsilon^{2(n-1)}\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 1&\epsilon^{n-1}&\cdots &\epsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right) $$ $$ =\frac{1}{\sqrt{n}} \left( \begin{array}{cccc} f(1)&f(\epsilon)&\cdots &f(\epsilon^{n-1})\\ f(1)&\epsilon f(\epsilon)&\cdots &\epsilon^{n-1} f(\epsilon^{n-1})\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ f(1)&\epsilon^{n-1} f(\epsilon)&\cdots &\epsilon^{(n-1)^2}f(\epsilon^{n-1}) \end{array} \right) $$ $$ =\frac{1}{\sqrt{n}} \left( \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots &1\\ 1&\epsilon &\cdots &\epsilon^{n-1} \\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 1&\epsilon^{n-1} &\cdots &\epsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} f(1)&0&\cdots &0\\ 0&f(\epsilon)&\cdots &0\\ 0&0&\cdots &0\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots &f(\epsilon^{n-1}) \end{array} \right). $$ Tomando determinantes y utilizando el hecho de que la transformada de Fourier es invertible y, por tanto, el determinante de su matriz es distinto a cero, obtenemos la fórmula de Cremona. Este cálculo demuestra que la transformada de Fourier discreta diagonaliza la matriz circulante. La relación entre matrices circulantes y la transformada de Fourier discreta es el motivo por el cual los matrices circulantes son importantes en telecomunicaciones y en procesamiento de señales.
Volviendo a la fórmula (\ref{circulant}), observemos que el grupo de permutaciones que actúa en las filas del determinante es el grupo cíclico con tres elementos, $S_3=\{1,\rho,\rho^2\}$. Observemos también que hay tres homomorfismos de este grupo en el grupo multiplicativo de los números complejos no iguales a cero: \begin{eqnarray*} \chi_j:S_3\rightarrow {\mathbb C}\backslash \{0\},\quad j=0,1,2, \end{eqnarray*} definidos por $\chi_j(\rho)=\epsilon^j$. De hecho, estos tres homomorfismos también forman un grupo (con la operación de multiplicación); denotemos este grupo $\widehat{S_3}$. En este caso, la fórmula (\ref{circulant}) se puede reformular como \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|=\prod_{\chi\in \widehat{S_3}}(\chi(1)a+\chi(\rho)b+\chi(\rho^2)c). \end{eqnarray*}
Motivado por los problemas de la teoría de números, Richard Dedekind generalizó esta identidad de la siguente forma. Dado un grupo finito abeliano $G={g_1,g_2,\ldots, g_n}$, consideremos una sucesión $a_{g_1},a_{g_2},\ldots, a_{g_n}$. Definamos el determinante $\det(a_{g_jg_k^{-1}})$, cuya $jk$-ésima entrada es $a_{g_jg_k^{-1}}$. Dedekind demostró que: \begin{eqnarray*} \det(a_{g_jg_k^{-1}})=\prod_{\chi\in \widehat{G}}\left(\sum_{g\in G}\chi(g)a_{g}\right) \end{eqnarray*} donde $\widehat{G}$ es el grupo de homomorfismos de $G$ en ${\mathbb C}\backslash \{0\}$. Mencionamos aquí esta identidad de Dedekind por su importancia como el punto de nacimiento de la teoría de representaciones de grupos. Más detalles de esta historia se pueden hallar en el artículo de Keith Conrad [1]K. Conrad, The origin of representation theory, preprint..
Concluimos nuestra discusión con un problema que apareció en [3]R. Gelca, T. Andreescu, Putnam and Beyond, Springer, 2007. y para cuya solución se puede aplicar la identidad (\ref{cremona1}):
[1] K. Conrad, The origin of representation theory, preprint.
[2] L. Cremona, Intorno ad un teorema de Abel, Annali di Scienze Matematiche i Fisiche, 7 (1856), 99-105.
[3] R. Gelca, T. Andreescu, Putnam and Beyond, Springer, 2007.
