Un marinero católico en una tormenta en altamar le pide ayuda a San Telmo; un chofer en un embotellamiento —a San Cristóbal. ¿A quién le puede rezar un matemático desesperado cuando no le sale un problema? Hay una opción natural: el matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888), alumno de Cauchy, maestro de Segre y Peano, autor de numerosos artículos matemáticos y de varios libros, fue beatificado por el papa Juan Pablo II en 1988. En el Martirologio Romano es caracterizado como “presbítero, que unió la ciencia de las matemáticas y de la física con la práctica de las obras de caridad”.
Siendo profesor de matemáticas en la Universidad de Turín, Francesco Faà di Bruno dedicaba su energía a las obras de asistencia social. Abrió unos “hornillos económicos para los trabajadores, que eran unas cocinas, donde se preparaban y vendían comidas calientes muy baratas; pero no gratuitas. En 1859 fundó la Obra Pía de Santa Zita para las chicas del servicio doméstico en la zona de mala fama Borgo San Donato. Abrió también diferentes pensionados para ancianos y ancianas, para señoras enfermas y convalecientes y para sacerdotes ancianos o reducidos a la miseria por las leyes estatales de confiscación, sin indemnización, de las leyes estatales. Por iniciativa suya [...] surgió por primera vez en Italia la Obra para la santificación de las fiestas, para defender a los trabajadores del trabajo dominical, al que estaban obligados por el despiadado capitalismo naciente. En 1860, fundó, incluyéndola en la Obra de Santa Zita, la Clase de las Clarinas, para muchachas de condición humilde afectadas de minusvalías [...] También fundó la Enfermería de San José, para mujeres pobres y enfermas, sobre todo para las convalecientes. En 1862, fundó el Pensionado-hospicio para mujeres ancianas e inválidas. Dio vida a un Liceo, que luchaba por la contribución de los católicos por una escuela libre. Hizo otras muchas fundaciones: La Biblioteca Mutua Ambulante, para promover la lectura de libros científicos; la Escuela de Educandas, para la formación profesional de jóvenes pobres; la Escuela de Alumnas Maestras e Institutrices.” [3]Cristina Huete García, Beato Francisco Faà di Bruno (1825-1888). En hagiopedia.blogspot.com..
Hoy, de la obra matemática de Faà di Bruno, se recuerda principalmente su fórmula para la $n$-ésima derivada de la composición de dos funciones. Faà di Bruno no fue el primero en calcular esta derivada, aunque sí encontró una expresión nueva para ella:
\begin{multline*} \frac{d^n}{dt^n} f(g(t)) =\left| \begin{array}{ccccc} \binom{n-1}{0}g'f & \binom{n-1}{1}g''f &\ldots & \binom{n-1}{n-2}g^{(n-1)}f & \binom{n-1}{n-1}g^{(n)}f\ \ \ \\ -1 & \binom{n-2}{0}g'f &\ldots & \binom{n-2}{n-3}g^{(n-2)}f & \binom{n-2}{n-2}g^{(n-1)}f\\ 0 & -1 &\ldots & \binom{n-3}{n-4}g^{(n-3)}f & \binom{n-3}{n-3}g^{(n-2)}f\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 &\ldots & \binom{1}{0}g'f & \binom{1}{1}g''f\\ 0 & 0 &\ldots & -1 & \binom{0}{0}g'f\\ \end{array} \right| \end{multline*} donde $g^{(i)}$ significa $g^{(i)}(t)$ y $f^k$ se debe interpretar como $f^{(k)}(g(t))$.
Otras expresiones para calcular la misma derivada también se conocen con frecuencia como “la fórmula de Faà di Bruno”. La más conocida de ellas es la siguente: $$ \frac{d^n}{dt^n} f(g(t)) = \sum\frac{n!}{m_1! m_2!\ldots m_n!} \cdot f^{(k)}(g(t))\cdot \left(\frac{g'(t)}{1!}\right)^{m_1}\left(\frac{g''(t)}{2!}\right)^{m_2}\ldots\left(\frac{g^{(n)}(t)}{n!}\right)^{m_n}, $$ donde la suma se toma sobre todas las $n$-tuplas de enteros no negativos $(m_1,\ldots, m_n)$ tales que $1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n,$ y $k=m_1+m_2+\ldots+m_n.$
A pesar del aspecto intimidante de estas fórmulas, no son tan difíciles de probar. Por ejemplo, la demostración de la segunda fórmula consiste en escribir las funciones $f$ y $g$ como series de potencias en $t$ y calcular, usando argumentos combinatorios básicos, los coeficientes en la serie $f(g)$. Recordando que el $n$-ésimo coeficiente en una serie de potencias es la derivada de su suma en $0$, dividida por $n!$, se obtiene la fórmula para el caso $t=0$ y $g(0)=0$. El caso general se obtiene usando un sencillo cambio de variables.
Para más versiones de la fórmula de Faà di Bruno, con la historia detallada y las demostraciones, vean [4]Warren P. Johnson, The Curious History of Faà di Bruno's Formula, American Mathematical Monthly 109(3) (2002) 217-234.. Sería justo decir que, a pesar de ser fundamental, la fórmula de Faà di Bruno no tiene muchas aplicaciones. Sin embargo, tampoco está ausente en las matemáticas modernas: en [2]Alessandra Frabetti, Dominique Manchon. Five interpretations of Faà di Bruno's formula. European Mathematical Society. Dyson-Schwinger Equations and Faà di Bruno Hopf Algebras in Physics and Combinatorics, junio 2011, Strasbourg, Francia. pp.5-65, 2014. se describen algunos contextos donde es relevante. Probablemente, uno de los contextos más interesantes es en la descripción matemática del proceso de la renormalización de la electrodinámica cuántica [1]Christian Brouder, Alessandra Frabetti y Christian Krattenthaler, Non-commutative Hopf algebra of formal diffeomorphisms, Advances in Mathematics 200 (2006), no. 2, 479-524.; este tema, sin embargo, ya no tiene nada que ver con la vida y la obra del Beato Francesco Faà di Bruno.
Y, regresando a los matemáticos desesperados por resolver sus problemas, recuerden que Faà di Bruno ha luchado en contra del trabajo dominical. Si necesitan apoyo divino para resolver la tarea para el lunes, no les queda otra que rezar a San Judas Tadeo.
Postdata. Aunque en la tradición ortodoxa rusa, los matemáticos no tienen un santo patrón, tampoco están desprotegidos. Hay una imagen de la virgen, cuyo nombre se traduce literalmente como “aumento de inteligencia”. El sentido original de este nombre es “el fortalecimiento de la salud mental” y, tradicionalmente, ofrecía protección, entre otras cosas, contra los moscos [5]Прибавление ума, https://ru.wikipedia.org/?oldid=69123847. Hoy en día es popular entre los estudiantes.
[1] Christian Brouder, Alessandra Frabetti y Christian Krattenthaler, Non-commutative Hopf algebra of formal diffeomorphisms, Advances in Mathematics 200 (2006), no. 2, 479-524.
[2] Alessandra Frabetti, Dominique Manchon. Five interpretations of Faà di Bruno's formula. European Mathematical Society. Dyson-Schwinger Equations and Faà di Bruno Hopf Algebras in Physics and Combinatorics, junio 2011, Strasbourg, Francia. pp.5-65, 2014.
[3] Cristina Huete García, Beato Francisco Faà di Bruno (1825-1888). En hagiopedia.blogspot.com.
[4] Warren P. Johnson, The Curious History of Faà di Bruno's Formula, American Mathematical Monthly 109(3) (2002) 217-234.
[5] Прибавление ума, https://ru.wikipedia.org/?oldid=69123847
