Varias estructuras algebraicas definidas por medio de axiomas tienen su origen en las operaciones sobre las matrices:
La motivación para introducir la noción de álgebras de Jordan vino de la física. En la mecánica cuántica, las cantidades físicas (tales como las coordenadas de una partícula, su momento cinético o su momento angular) en lugar de ser números, son matrices hermitianas (o más precisamente, operadores autoconjugados en un espacio de Hilbert). Al mismo tiempo, las matrices que no coinciden con su matriz traspuesta conjugada no tienen ninguna interpretación física. Esto sugiere expresar las propiedades algebraicas de las matrices hermitianas abstractamente, sin referencia al conjunto de todas las matrices, y buscar una formulación matemática de la mecánica cuántica en estos términos, o sea, en términos de las álgebras de Jordan. Además, la posibilidad de que existan álgebras de Jordan “exoticas” que no provengan de matrices hermitianas, abriría el camino a la construcción de sistemas cuánticos “exoticos”.
Motivado por este tipo de argumentos, el físico alemán Pascual Jordan postuló una versión de la mecánica cuántica que, en lugar de hacer mención de operadores autoconjugados, estaba basada en un álgebra de Jordan que, adicionalmente, satisfacía la siguiente propiedad: $$X_1\circ X_1 + X_2 \circ X_2 +\ldots +X_n\circ X_n = 0\quad\text{implica que}\quad X_1=X_2 = \ldots =X_n$$ para todo $n$. Un álgebra de Jordan con esta propiedad se llama formalmente real o euclidiana. Las álgebras de Jordan euclidianas de dimensión finita fueron clasificadas por Jordan, von Neumann y Wigner en 1934 [1]Pascual Jordan, John von Neumann, Eugene Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics 35 (1934), 29—64. ; cada álgebra de este tipo es una suma directa de álgebras simples, las cuales se dividen en los siguientes tipos:
Si $A$ es un álgebra asociativa, la operación del anticonmutador convierte $A$ en un álgebra de Jordan. Todos los ejemplos de la lista, salvo el cuarto (matrices octoniónicas) se pueden obtener como subespacios de álgebras asociativas cerrados bajo el anticonmutador.
Al final, las álgebras de Jordan no jugaron un papel importante en la física. Sin embargo, han llegado a tener aplicaciones espectaculares en matemáticas, en la solución del problema de Burnside restringido. Este problema pregunta si sólo existe un número finito de grupos con $m$ generadores y de exponente $n$, para cada $m$ y $n$ (un grupo tiene exponente $n$ si para cada elemento $g$ se cumple que $g^n=1$). La solución (positiva) de este problema fue dada por Efim Zelmanov en 1990-1991 y utiliza argumentos muy finos de la teoría de las álgebras de Jordan; recibió por este trabajo la medalla Fields en 1994.
Como una referencia para los detalles de la teoría de álgebras de Jordan sugerimos el libro [2]Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer-Verlag New York, 2004..
[1] Pascual Jordan, John von Neumann, Eugene Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics 35 (1934), 29—64.
[2] Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer-Verlag New York, 2004.
Pascual Jordan (1902 - 1980) fue un físico alemán, uno de los fundadores de la teoría cuántica. Contribuyó al formalismo matricial, desarrolló (independientemente de P.A.M.Dirac) la teoría de transformaciones, inventó la estadística de Fermi (su artículo se perdió en el camino a la publicación; si no fuera así, los fermiones, probablemente hoy se llamarían “jordaniones”), contribuyó a las fundaciones de la teoría cuántica de campos. Intentó aplicar sus conocimientos a la biología: su idea fue que las células deben de poseer un mecanismo que amplifique los fenómenos cuánticos al nivel macroscópico.
Fue un miembro activo del Partido Nazi y, después de la Segunda Guerra Mundial, un nacionalista alemán con opiniones politicas militaristas. Sin embrago, a raíz de su amistad y colaboración con los judios siempre fue considerado sospechoso por las autoridades del Tercer Reich. Se cree que su pasado nazi le costó el premio Nobel que nunca recibió, a pesar de sus contribuciones muy sustanciales a la física.