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Alexander Grothendieck

DICIEMBRE 2014 Vol. 1 Núm. 3 artículo 2

David Mumford y John Tate


Del sitio de David Mumford (Dic 14, 2014):

La revista Nature solicitó a John Tate y a mí un obituario para Alexander Grothendieck. Él es mi héroe: de todas las personas que he conocido, es el más digno de ser considerado un “genio”. Lo llegué a conocer cuando visitó Harvard: John, Shurik (como lo llamaban) y yo dirigíamos un seminario sobre los “teoremas de existencia”.  Su devoción por las matemáticas, su desdén hacia la formalidad y las convenciones, su carácter abierto y, lo que John y otros llaman ingenuidad, tocaron una fibra sensible en mí.

Así que John y yo aceptamos el encargo y escribimos el siguiente obituario. Dado que, entre los lectores de Nature, prácticamente, no hay matemáticos, consideramos que el desafío era hacer algunos puntos fundamentales del trabajo de Grothendieck accesibles a este público lector. Obviamente, la mera definición de un esquema es central para casi todo su trabajo; también, queríamos decir algo sustancial sobre categorías y cohomología. Esto es lo que logramos:

Aunque las matemáticas se tornaron más abstractas y generales durante el siglo XX, fue Alexander Grothendieck el mayor exponente de esta tendencia. Su habilidad singular era la de eliminar todas las hipótesis innecesarias y escudriñar con tal profundidad un área que sus patrones más íntimos, en el nivel más abstracto incluso, se mostraban a sí mismos, y entonces, como por arte de magia, demostraba cómo, en la solución de viejos problemas, era inevitable la hora en que su verdadera naturaleza habría sido revelada. Su fuerza e intensidad eran legendarias: trabajaba largas horas transformando totalmente el campo de la geometría algebraica y sus conexiones con la teoría algebraica de los números. Fue considerado por muchos el mayor matemático del siglo XX.

Grothendieck nació en Berlín el 20 de marzo de 1928; hijo de una pareja anarquista: su padre, ruso judío (Alexander Shapiro); y su madre, alemana protestante (Johanna —Hanka— Grothendieck). Tuvo una infancia turbulenta en Alemania y Francia, evadiendo el holocausto en la villa francesa de Le Chambon, conocida por proteger refugiados. Fue ahí, en medio de la guerra, en la escuela secundaria Collège Cévenol, donde parece haber desarrollado por primera vez su fascinación por las matemáticas. Vivió de adulto en Francia, pero permaneció sin nacionalidad (con un “pasaporte Nansen”) el resto de su vida haciendo su trabajo más revolucionario en el periodo 1956-1970 en el Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) en un suburbio de París después de su fundación en 1958. Recibió la medalla Fields en 1966.

Su primer trabajo, inspirado por sus maestros Laurent Schwartz y Jean Dieudonné, añadió ideas fundamentales a la teoría de espacios funcionales, pero se volvió él mismo cuando entró en el campo de la geometría algebraica. Éste es el campo de las matemáticas que estudia la geometría de los conjuntos de puntos que resuelven familias de polinomios, dichos conjuntos son conocidos como variedades. Tradicionalmente, esto había sido interpretado como el conjunto de soluciones complejas de polinomios con coeficientes complejos pero, justo antes del trabajo de Grothendieck, Andre Weil y Oskar Zariski se habían dado cuenta de que mucho más amplitud y profundidad se ganaban considerando soluciones de polinomios sobre campos arbitrarios, e.g. campos finitos o campos de números algebraicos.

Los fundamentos apropiados para esta visión más amplia de la geometría algebraica eran, sin embargo, confusos. De esta manera fue como Grothendieck hizo su primera innovación realmente significativa: inventó una familia de estructuras geométricas generalizando a las variedades que llamó esquemas. En los términos más simples, propuso asociar a cualquier anillo conmutativo (cualquier conjuntos de cosas para las que una adición, substracción y una multiplicación conmutativa están definidas, como el conjuntos de los enteros, o el conjunto de polinomios en las variables x,y,z con coeficientes numéricos complejos) un objeto geométrico, llamado el Spec del anillo (abreviando la palabra espectro) o un esquema afín, y cosiendo o pegando estos objetos para formar un esquema. El anillo debe pensarse como el conjunto de funciones en el esquema afín.

Para ilustrar cuán revolucionario fue esto, un anillo puede formarse comenzando con un campo, digamos el campo de los números reales, y añadiendo una cantidad $\varepsilon$ de modo que $\varepsilon^2=0$. Pensemos en $\varepsilon$ de la siguiente manera: tus instrumentos podrían permitirte medir una cantidad pequeña como $\varepsilon=0.001$ pero $\varepsilon^2=0.000001$ entonces sería demasiado pequeño para leerlo, y no hará ningún daño considerarlo como igual a cero. Los números en este anillo son $a+b\cdot\varepsilon$ con $a$ y $b$ números reales. El objeto geométrico que corresponde a este anillo es un vector infinitesimal; un punto puede moverse infinitesimalmente, pero sólo a segundo orden. De hecho, Grothendieck está regresando a Leibniz y haciendo de los infinitesimales objetos reales que pueden manipularse. Una idea relacionada se ha usado recientemente en física, en relación con las supercuerdas. Para conectar los esquemas a la teoría de los números, uno considera el anillo de los enteros. El Spec correspondiente tiene un punto por cada número primo en donde las funciones tienen valores en el campo finito de los enteros módulo $p$ y un punto clásico donde las funciones tienen valores racionales y que es más “grueso” teniendo a todos los otros puntos en su cerradura. Una vez que la maquinaria se volvió familiar, casi nadie dudó que él había encontrado el contexto correcto para la geometría algebraica y ahora esto es universalmente aceptado.

Elevándose en abstracción, Grothendieck usó la red de aplicaciones asociadas — llamadas morfismos — de un esquema variable a uno fijo para describir esquemas como funtores y notar que muchos funtores (que de ninguna manera eran esquemas de manera obvia) surgían en la geometría algebraica. Esto es similar a lo que ocurre en las ciencias cuando uno hace muchos experimentos y mide diversas variables de las cuales uno reconstruye un objeto de realidad desconocida; otro ejemplo: cuando se encuentra algo inesperado por medio de su influencia visible en cosas conocidas. Él aplicó esto para construir nuevos esquemas llevándolo a nuevos objetos (llamados almiares) cuyos funtores fueron precisamente caracterizados más adelante por Michael Artin.

Su trabajo mejor conocido fue su ataque sobre la geometría de esquemas y variedades encontrando maneras de calcular su invariante topológico más importante, su cohomología. Un ejemplo es la topología del plano menos el origen. Usando coordenadas complejas $(z,w)$, un plano tiene cuatro dimensiones reales y, sustrayendo un punto, lo que queda es topológicamente una esfera tridimensional. Siguiendo inspiradas sugerencias de Grothendieck, Artin fue capaz de demostrar cómo, solamente usando álgebra, un tercer grupo de cohomología de este espacio tiene un generador, es decir, la esfera vive algebraicamente también. Juntos desarrollaron lo que se llama cohomología étale en un famoso seminario en el IHES. Grothendieck continuó el camino resolviendo varias profundas conjeturas de Weil, desarrollando la cohomología cristalina y una metateoría de cohomologías llamada motivos con un brillante grupo de colaboradores que atrajo en esta época.

En 1969, por motivos no del todo claros para nadie, abandono el IHES donde había hecho todo este trabajo y se sumergió en una campaña político-ecológica que llamo Suvivre. Con un espíritu arrebatadoramente ingenuo (que bien le había servido en el desempeño de las matemáticas) creyó que podría iniciar un movimiento que cambiaría al mundo. Sin embargo, cuando se dio cuenta de que esto no estaba teniendo éxito, regresó a las matemáticas, enseñando en la Universidad de Monpellier. Ahí formuló extraordinarias visiones de estructuras aún más profundas conectando el algebra y la geometría, e.g. el grupo de simetría del conjunto de todos los números algebraicos (conocido como el grupo de Galois absoluto $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ y gráficas dibujadas sobre superficies compactas que llamó dessin d´enfants. A pesar de escribir tratados de mil páginas sobre esto, aún inéditos, su programa de investigación fue apenas exíguamente financiado por el CNRS (Centre Nationale de Recherche Scientifique); acusó al mundo matemático de ser totalmente corrupto. Durante las últimas dos décadas de su vida, se separó del mundo entero y buscó la soledad total en la pequeña villa de Lasserre en las laderas de los Pirineos. Ahí vivió solo en su propio mundo mental y espiritual escribiendo asombrosos trabajos de autoanálisis. Murió hace poco, el 13 de noviembre del 2014.

Como amigo, Grothendieck podía ser muy cálido, aun así, las pesadillas de su infancia lo dejaron con una compleja personalidad. Fue único en casi cualquier aspecto de su vida. Su intensidad e ingenuidad le permitieron reestructurar los fundamentos de grandes partes de la matemática del siglo XXI usando intuiciones únicas que todavía nos sorprenden hoy por hoy. El poder y la belleza del trabajo de Grothendiecken (esquemas, funtores, cohomología, etc.) es tal que esos conceptos se han convertido en la base de gran parte de las matemáticas contemporáneas. Los sueños de su trabajo tardío permanecen como retos a sus sucesores.

Lo triste es que este texto fue rechazado por la revista por considerarlo demasiado técnico para sus lectores. Su editor me escribió que términos como “polinomios de grados superiores”, “vectores infinitesimales” y “espacio complejo” (hasta los números complejos) son conceptos con los que, al menos la mitad de su auditorio, nunca se ha topado en su vida. La brecha entre el mundo en el que yo me desenvuelvo y el otro universo, que abarca incluso el de los científicos, jamás me había parecido tan amplia. Estoy acostumbrado a escuchar de personas que se dedican a los negocios o son abogados, por ejemplo, cosas como que odian las matemáticas y que no recuerdan nada más allá de la aritmética, ¿pero esto? Nature está dirigida a un núcleo de lectores dedicados a la ciencia, la tecnología, la ingeniería y las matemáticas (el cual, supuestamente, a lo largo de su formación, aprendió un montón de matemáticas, ¡qué lamentable!).

Añadido el 28 de diciembre:

Finalmente, como la revista Nature realmente quería publicar algún obituario de Grothendieck, nos insistió tanto que aceptamos publicar una versión muy limitada y reducida de nuestro escrito (aparecerá, creo, en el número del 15 de enero y no puedo reproducirlo aquí por cuestiones de derecho de autor). Todo el problema de intentar acercar el mundo de los matemáticos al de los demás científicos o al del público en general es muy serio y creo que los matemáticos podríamos esforzarnos más por encontrar conexiones. Un ejemplo pertinente es el trabajo de Gowers sobre las bases en espacios de Banach: cuando él recibió la medalla Fields, nadie que yo sepa ha intentado usar el ejemplo de las notas musicales para explicar las series de Fourier y, por lo tanto, las bases en los espacios de funciones al público general.

En el caso de nuestro obituario, tenía la esperanza de que la inclusión de la 3-esfera unitaria en $\mathbb{C}^2−(0,0)$ sería bastante clara para la mayoría de los científicos y, por lo tanto, se podría usar para explicar el logro de Mike Artin quien demostró que $H^3_{étale}(\mathbb{A}^2−(0,0))\neq(0)$. No: fue eliminado por Nature. Esperaba que “la red de aplicaciones” sería una metáfora excelente para el funtor representado por un objeto en una categoría y, de tal modo, se captaría la esencia de la idea. No: fue eliminado por Nature. Tenía la esperanza de que el “grupo de simetría del conjunto de todos los números algebraicos” podría pasar la prueba para definir este grupo de Galois. No: fue eliminado por Nature. En honor a la verdad, creo que realmente necesitaban disminuir la longitud del texto y no querían omitir detalles personales.

El mínimo esencial que yo pretendía para un obituario de Grothendieck consistía en tratar de explicar los esquemas y decir algo sobre la cohomología. Para ser honesto, el escollo principal para explicar los esquemas fue la palabra “anillo”. Si no se ha tomado un curso introductorio de álgebra abstracta ¿por dónde empezar? El borrador final mencionaba brevemente tres ejemplos: polinomios (omitiendo la frase aterradora “de grados superiores”), los números duales y los campos finitos. Batallamos sobre el término “Spec de los números duales” hasta lograr una aproximación más o menos cabal; usamos las palabras “cantidad muy pequeña” y “distancia infinitesimal”. En cuanto a los campos finitos, a pesar de las objeciones de John, pensé que los números en la carátula de un reloj funcionarían como una primera aproximación. Cierto, $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ no es un campo, pero ¿qué camino hacía la definición de los campos finitos sería más rápido que introducir anillos finitos diciendo “un tipo de números que se suman como las horas en el reloj: 7 horas después de las 9 no son las 16 sino las 4”? Después, describimos la característica p como un mundo “discreto”, en contraste con el mundo clásico/continuo de la característica 0. Por otros derroteros, también añadimos “inspirado por las ideas del matemático francés Jean-Pierre Serre” como un reconocimiento a su colaboración extraordinaria.

Todo esto es un compromiso y no quiero decir que la decisión de Nature de no permitir más matemáticas sea una estupidez. El problema real es la brecha tan enorme y dolorosa que se ha abierto entre los matemáticos y el resto del mundo. Creo que una gran causa de ello son los programas de las escuelas secundarias y preparatorias. Si las matemáticas se presentaran como algo conectado con el mundo (y no como un ejercicio aislado); si se mostraran conectadas con temas como las finanzas, o con cuestiones como la medición del mundo real, o con la física, la química y la biología, o con ámbitos como la optimización en la toma de decisiones o la escritura de códigos de computadora, menos estudiantes se desconectarían de ellas. De hecho, ¿por qué no eliminar las clases aisladas de matemáticas en las escuelas de nivel medio superior y enseñar la matemática tal y como se necesita en las clases de ciencias, de humanidades y de negocios? Si lo piensan, tal vez no sea una idea tan descabellada.


David Mumford

DAVID MUMFORD

David Mumford es un matemático estadounidense nacido en Inglaterra. Es conocido por sus trabajos en el campo de la geometría algebraica y por sus estudios sobre el reconocimiento de las formas. Es actualmente profesor del departamento de matemáticas aplicadas en la Universidad de Brown, pero ha realizado una importante carrera universitaria en la Universidad de Harvard.

Ha recibido diversos premios a lo largo de su vida. Entre ellos una medalla Fields en 1974 y el Premio Steele en 2007 otorgado por la Sociedad Matemática Americana. Ha sido presidente de la Unión Matemática Internacional de 1995 a 1999.


John Tate

JOHN TATE

John Tate es un matemático estadounidense, distinguido por sus muchas contribuciones fundamentales a la Teoría de números algebraicos y áreas afines en geometría algebraica. Se doctoró en la universidad de Princeton en 1950 como discípulo de Emil Artin. Trabajó en la Universidad de Harvard entre 1954-1990, y se encuentra ahora en la Universidad de Texas en Austin.

Recibió el Premio Cole en 1956, el Premio Steele en 1995, el Premio Wolf en Matemáticas en 2003 y el Premio Abel en 2010.



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Traducción: E. Lupercio. 2014.
El original está disponible en el sitio web de David Mumford.
Biografías e imágenes adaptadas de Wikipedia.