El lector asiduo de la Miscelánea Matemática (una de las principales publicaciones periódicas de la Sociedad Matemática Mexicana) ha de recordar que, hace varios años, se intentó instaurar una sección de problemas y soluciones en las páginas de aquella revista. La sección llevaba por nombre “El Baúl de Problemas” y, en la introducción de la misma — ver [5]Miscelánea Matemática, 19., pág. 103 —, el editor en turno invitaba “a todos los lectores a contribuir activamente tanto a mandar problemas de preferencia nuevos o de presentación original como en el envío de sus soluciones para su publicación”. Desafortunadamente, la sección sólo apareció en los números 19, 20, 21 y 22 de la revista y después fue descontinuada. En total, se publicaron 19 problemas.
“El Baúl” quedó empolvándose durante varios años pues, hasta la fecha, en dicha revista no se ha vuelto a hacer mención, ni de los problemas planteados, ni de las soluciones enviadas por los lectores o, en su defecto, de las soluciones esperadas por las personas que los propusieron en un principio.
Nosotros creemos que en los baúles se guardan tesoros interesantes. Por esta razón, nos hemos dado a la tarea de recopilar todos y cada uno de los problemas propuestos en “El Baúl de Problemas” con el fin de desempolvarlo.
Nuestro objetivo en el presente artículo (el cual será publicado en varias partes) es doble. Por un lado, nos gustaría comentar las soluciones que tenemos para algunos de los problemas en la lista e invitar a los entusiastas lectores de universo.math a que aborden los problemas restantes y compartan sus ideas y soluciones.
El segundo objetivo es presentar algunos problemas adicionales al final de cada artículo para ir generando nuevas discusiones. El medio para llevarlas a cabo será el foro El irracional, el cual es un proyecto reciente en español desarrollado con la finalidad de tener una página de preguntas y respuestas sobre matemáticas. Los problemas se subirán a dicho foro y los threads que los alojen serán marcados todos con la etiqueta “Baúl de Problemas”. Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas de este artículo.
A nuestro parecer, cualquier retroalimentación que se genere en torno a los problemas de “El Baúl de Problemas” será de provecho, incluso para el más ocasional de los lectores de universo.math. Pensamos, también que, en una publicación de matemáticas con un potencial considerable de difusión, nunca está de más ofrecer problemas y soluciones para el deleite de los lectores. Como dijera el célebre matemático húngaro-americano Paul R. Halmos en el epílogo de [4]P.R. Halmos, The Heart of Mathematics. Amer. Math. Monthly 87 (7), Aug. - Sep. 1980, 519-524.: “¡Los problemas son el corazón de las matemáticas!” — el enfásis es nuestro.
Es sabido que, en otros países, las revistas consolidadas de difusión en matemáticas reservan por lo general apartados para el problem-solving y, en algunos casos, la interacción entre lectores originada en tales espacios ha sido bastante fructífera: uno de los casos más notables está relacionado con la revista húngara KöMaL (en circulación desde 1894 y vigente aún) y Paul Erdős. De acuerdo con lo que se lee en [3]L. Babai; J. Spencer, Paul Erdős (1913-1996). Notices Amer. Math. Soc. 1 (45), 1998, pp. 64-73. , pp. 68-69:
En los días del internet, los ejemplos de revistas matemáticas cuyas secciones de problemas y soluciones pueden ser visitadas no son escasos. Entre las que poseen las columnas más establecidas, y distribuidas libremente en línea, figuran: The Fibonacci Quarterly, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Mathematical Reflections (del Prof. Titu Andreescu), el Nieuw Archief voor Wiskunde, The Pi Mu Epsilon Journal y la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas.
Hay otras revistas con secciones importantes de problemas pero cuyos archivos no han sido puestos a disposición del público en general todavía, o al menos no completamente. Como ejemplos de revistas de este tipo podemos mencionar a KöMaL misma, a Crux Mathematicorum (en su sitio en internet se encuentra disponible al público todo el material publicado en ella desde el primer número del volumen 22 [Feb., 1997] hasta el último número del volumen 33 [Dic., 2007]), a Tzaloa (de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas) y un caso más prominente sería el de The American Mathematical Monthly. Para darse una idea del valor de la sección de problemas del Monthly, basta con recordar las palabras que sobre ella profirió Léo Sauvé (el primer editor de Crux Mathematicorum) en cierta ocasión: “parecería que todos los problemas han sido publicados alguna vez en el Monthly”.
Finalmente, cabe destacar que, como consecuencia de la paulatina consolidación de los países de habla hispana en las olimpiadas internacionales de matemáticas, los círculos de personas interesadas en abordar problemas de matemáticas relacionados con temas no elementales se van haciendo cada vez más grandes y más sólidos. Pudiera decirse que hay una cultura de resolución de problemas en pleno proceso de gestación que incidirá en el desarrollo personal y profesional de todas las personas que en ella participen. Esperamos que este trabajo capte el interés de los lectores de universo.math y logre contribuir con su granito de arena en la incepción de esa cultura de resolución de problemas en México y demás países de habla hispana.
Presentamos a continuación las soluciones y algunos comentarios a los primeros cinco problemas propuestos en “El Baúl de Problemas”. Los problemas cuyos enunciados están precedidos por un $*$ son problemas cuya solución está acompañada de algunos comentarios adicionales.
Tal como el problema aparece formulado, la conclusión no se cumple en general. Por ejemplo, si pensamos que el vértice $A$ está en $(0,4)$, el vértice $B$ en $(0,0)$ y el vértice $C$ en $(2,4)$, entonces podemos tomar $D=(-2,2)$, $E=(3,1)$ y $F=(1,6)$. Puesto que \begin{eqnarray*}\overline{DA} = \overline{DB} = 2\sqrt{2},\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*}\overline{EB}=\overline{EC}=\sqrt{10}\end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \overline{FA} = \overline{FC} = \sqrt{5} \end{eqnarray*} se sigue que los triángulos $\triangle ABD$, $\triangle BCE$ y $\triangle ACF$ son todos isósceles; además, las rectas $AE$ y $BF$ concurren en $\bigl(\frac{4}{7}, \frac{24}{7}\bigr)$. No obstante, la ecuación de la recta $CD$ es $y = \frac{1}{2}x+3$ y, por tanto, no contiene al punto $\bigl(\frac{4}{7}, \frac{24}{7}\bigr)$.
Una manera de enmendar el planteamiento del problema es añadir la hipótesis de que los tres triángulos que se construyen, aparte de ser isósceles, sean semejantes entre sí. Y, claro, no está de más recalcar que las bases de los triángulos isósceles que se van levantando correspondan a los lados del triángulo $ABC$. El resultado es una consecuencia de uno un poco más general, conocido como teorema de las isogonales (o de Jacobi):
Este teorema se puede probar usando la versión trigonométrica del teorema de Ceva cuatro veces: en $\triangle ABC$ con los puntos $D$, $E$ y $F$ y, finalmente, para probar la concurrencia. Llamemos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ a los ángulos del triángulo en $A$, $B$ y $C$, respectivamente. De la versión trigonométrica del teorema de Ceva, se desprende que: \begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{sen}(\angle ACD)}{\mathrm{sen}( \angle BCD)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\theta_B+\beta)}{\mathrm{sen}(\theta_B)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\theta_A)}{\mathrm{sen}(\theta_A+\alpha)}=1 \end{eqnarray*} De modo que, $\frac{\mathrm{sen}(\angle ACD)}{\mathrm{sen}(\angle BCD)}=\frac{\mathrm{sen}(\theta_A+\alpha)}{\mathrm{sen}(\theta_B+\beta)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\theta_B)}{\mathrm{sen}(\theta_A)}$. Así, análogamente, se obtiene que: \begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{sen}(\angle CBF)}{\mathrm{sen}(\angle ABF)}=\frac{\mathrm{sen}(\theta_C+\gamma)}{\mathrm{sen}(\theta_A+\alpha)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\theta_A)}{\mathrm{sen}(\theta_C)} \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{sen}(\angle BAE)}{\mathrm{sen}(\angle CAE)}=\frac{\mathrm{sen}(\theta_B+\beta)}{\mathrm{sen}(\theta_C+\gamma)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\theta_C)}{\mathrm{sen}(\theta_B)}. \end{eqnarray*} Con esto: \begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{sen}(\angle ACD)}{\mathrm{sen}(\angle BCD)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\angle CBF)}{\mathrm{sen}(\angle ABF)}\cdot\frac{\mathrm{sen}(\angle BAE)} {\mathrm{sen}(\angle CAE)}=1, \end{eqnarray*} y, por lo tanto, por la versión trigonométrica del teorema de Ceva, tenemos que $AE$, $BF$ y $CD$ son concurrentes.
Por supuesto, en la modificación hecha al problema se cumple que $\theta_A=\theta_B=\theta_C$: la concurrencia de las rectas en cuestión es, entonces, una consecuencia directa del teorema de isogonales previamente discutido. Notemos que, en el caso degenerado, en el cual la magnitud de los tres ángulos $\theta_{A}$, $\theta_{B}$ y $\theta_{C}$ es $90^\circ$, la conclusión se puede interpretar como “las alturas del triángulo concurren” pues, por ejemplo, $E$ sería el punto al infinito en dirección a la altura por $A$ y así $AE$ sería una de las alturas de $\triangle ABC.$
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No existe un vector $X=(a_{r},a_{r-1}, \ldots, a_{1},a_{0})$ de ceros y unos (con $a_{r}=1$) tal que $X_{2}+X_{3}=X_{4}$. Esto es claro para $r=0$ y $r=1$. Para $r \geq 2$, la afirmación es consecuencia de la desigualdad (la cual puede probarse fácilmente mediante inducción): $4^{r} - (3^{r}+2^{r}) > 2.$
En efecto, si $r > 2$ y $X=(a_{r}, a_{r-1}, \ldots, a_{1}, a_{0})$, entonces \begin{eqnarray*} X_{4} &=& 4^{r} + 4^{r-1}a_{r-1} + \ldots + 4^{2}a_{2} + 4a_{1}+a_{0}\\ &=& (4^{r}+4a_{1}+a_{0}) + 4^{r-1}a_{r-1} + \ldots + 4^{2}a_{2}\\ &>& (3^{r}+2^{r}+2+4a_{1}+a_{0})+(3^{r-1}+2^{r-1})a_{r-1}+\ldots+(3^{2}+2^{2})a_{2}\\ &\geq& (3^{r}+2^{r}+5a_{1}+2a_{0})+(3^{r-1}+2^{r-1})a_{r-1}+\ldots+(3^{2}+2^{2})a_{2}\\ &=& (3^{r}+3^{r-1}a_{r-1}+\ldots+3^{2}a_{2}+3a_{1}+a_{0})\\ &+& (2^{r}+2^{r-1}a_{r-1}+\ldots+2^{2}a_{2}+2a_{1}+a_{0})\\ &=& X_{3} + X_{2}. \end{eqnarray*} En el caso $r=2$, la demostración depende también de la desigualdad arriba mencionada pero resulta ser un tanto más breve: \begin{eqnarray*} X_{4} &=& 4^2+4a_{1}+a_{0}\\ &>& (3^{2}+2^{2} + 2) + 4a_{1}+a_{0}\\ &\geq& 3^{2}+2^{2} + 5a_{1}+2a_{0}\\ &=& X_{3}+X_{2}. \end{eqnarray*}
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El problema anterior se presta a que uno se cuestione sobre las maneras en que el resultado podría generalizarse. ¿Puede el lector proponer alguna?
Básicamente, la única dificultad de este problema radica en verificar que $d$ satisface la desigualdad triangular. Antes de proceder con la comprobación de esa parte, reformularemos la definición de $d(f,g)$ de una manera más conveniente. Sea $\mathbf{f}\in S_{n}$. Diremos que $i \in \{1,2,\ldots, n\}$ es un punto fijo de $\mathbf{f}$ si $\mathbf{f}(i)=i$. Luego, si denotamos con $\mathrm{Fix}(\mathbf{f})$ al conjunto conformado por los puntos fijos de $\mathbf{f}$ se puede notar que: \begin{eqnarray*} d(f,g) = n - |\mathrm{Fix}(f \circ g^{-1})|. \end{eqnarray*} Sean $f,g,h \in S_{n}$. Puesto que: \begin{eqnarray*} \mathrm{Fix}(f \circ h^{-1}) \cap \mathrm{Fix}(h \circ g^{-1}) \subseteq \mathrm{Fix}(f \circ g^{-1}) \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,n\} \supseteq \mathrm{Fix}(f \circ h^{-1}) \cup \mathrm{Fix}(h \circ g^{-1}) \end{eqnarray*} se sigue que: \begin{eqnarray*} n &\geq& |\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})\cup \mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})|\\ &=& |\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})|+|\mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})| - |\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})\cap \mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})|. \end{eqnarray*} Por lo tanto, \begin{eqnarray*} n+ |\mathrm{Fix}(f \circ g^{-1})| &\geq& n+ |\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})\cap \mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})|\\ &\geq& |\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})|+|\mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})| \end{eqnarray*} y de aquí que: \begin{eqnarray*} d(f,g) &=& n-|\mathrm{Fix}(f \circ g^{-1})|\\ &\leq& (n-|\mathrm{Fix}(f \circ h^{-1})|) + (n-|\mathrm{Fix}(h \circ g^{-1})|)\\ &=& d(f,h) + d(h,g). \end{eqnarray*}
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Mostraremos, a continuación, una manera de extender el resultado anterior a permutaciones sobre conjuntos no necesariamente finitos. Introducimos, para tal fin, la siguiente definición.
Denotemos ahora con $F_{X}$ al conjunto de funciones casi neutras de $X$ en $X$. No resulta difícil convencerse que $F_{X}$ bajo la composición usual de funciones es un grupo. Afirmamos que, si definimos $d:F_{X}\times F_{X} \to \mathbb{R}$ como antes, es decir $d(f,g)$ es igual al número de puntos no fijos de $f\circ g^{-1}$, entonces $d$ es también una métrica sobre $F_{X}.$ En efecto: para cada $(f,g)\in F_{X}\times F_{X}$ es claro que $d(f,g) \geq 0$ y, además $d(f,g)=0$, si y sólo si cada $x \in X$ es punto fijo de $f \circ g^{-1}$, si y sólo si para cada $x \in X$, $f(x) = g(x)$, si y sólo si las funciones $f$ y $g$ son iguales. Para establecer la simetría de la función $d$, sólo hay que mostrar que, para cada $(f,g) \in F_{X}\times F_{X}$, las funciones $f\circ g^{-1}$ y $g\circ f^{-1}$ tienen los mismos puntos fijos. Esto es inmediato del hecho que toda función $h \in F_{X}$ tiene los mismos puntos fijos que su función inversa $h^{-1}$. Pasamos ahora a la verificación de la parte interesante del asunto, a saber, la desigualdad triangular para $d$.
Sean $f,g,h \in F_{X}.$ Si $A$ es el conjunto de puntos no fijos de $f\circ g^{-1}$, $B$ es el conjunto de puntos no fijos de $f \circ h^{-1}$ y $C$ es el conjunto de puntos no fijos de $h \circ g^{-1}$, entonces afirmamos que: \begin{eqnarray} A \subseteq B \cup C \label{contencion}. \end{eqnarray} Notemos que, de esta contención de conjuntos, se seguiría que: \begin{eqnarray*} d(f,g) = |A| \leq |B \cup C| \leq |B| + |C| = d(f,h) + d(h,g), \end{eqnarray*} pues la cardinalidad de una unión de dos conjuntos siempre es menor o igual a la suma de sus cardinalidades. La prueba de $(\ref{contencion})$ puede hacerse por reducción al absurdo. Sea $x \in A$: si suponemos que $x \notin B\cup C$, entonces x es punto fijo de $f\circ h^{-1}$ y $h \circ g^{-1}$ y, por consiguiente, \begin{eqnarray*} (f\circ g^{-1} )(x) = (f \circ h^{-1} \circ h \circ g^{-1})(x) = (f\circ h^{-1})(h \circ g^{-1})(x) =x. \end{eqnarray*} Esto implica que $x \notin A$, lo cual es decididamente absurdo.
Nótese que, cuando $X=\{1,2, \ldots, n\}$, entonces $F_{X}$ es exactamente igual a $S_{n}$: tenemos así una generalización del problema planteado en un principio.
Finalmente, agradecemos a Omar Antolín Camarena el habernos hecho caer en la cuenta de que la (presunta) métrica $d: S_{n} \times S_{n} \to \mathbb{R}$ que motiva a este problema es, en esencia, la métrica de Hamming sobre $S_{n} \times S_{n}.$
En lo que sigue supondremos que sólo las entradas de la diagonal principal de la matriz son iguales a cero.
En el enunciado del problema, se hace la observación de que el determinante de una matriz de tamaño $n \times n$ tiene $n!$ términos. Aunque esto se puede probar fácilmente por inducción, en este contexto es mejor recordar que esto se desprende de la fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz $A$ de tamaño $n\times n$: \[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}.\ \] Aquí, $S_n$ es el grupo de permutaciones de $\{1,2,\ldots,n\}$ y $\text{sgn}(\sigma)$ es $1$ si $\sigma$ es una permutación par y $-1$ si es una permutación impar. La fórmula de Leibniz nos da una solución inmediata al problema. Para que el sumando correspondiente a $\sigma$ sea distinto de $0$, debemos evitar que $A_{i,\sigma(i)}$ esté en la diagonal para toda $i$, es decir, que $\sigma$ no tenga puntos fijos. De esta forma, el determinante tiene tantos sumandos distintos de cero como permutaciones sin puntos fijos en $S_n$. El problema de determinar la cantidad de permutaciones de $\{1,2, \ldots, n\}$ sin puntos fijos es muy clásico. Esta cantidad hasta tiene su propio símbolo, el subfactorial: $!n$. La fórmula más conocida para el subfactorial de $n$ es la siguiente: \begin{eqnarray} !n:=n!\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \label{subfact} \end{eqnarray} y la estableceremos a continuación a través del principio de inclusión-exclusión.
Si $i \in \{1,2,\ldots, n\},$ hagamos $X_{i}:= \{\sigma \in S_{n}: \sigma(i) = i\}$. Se tiene, entonces, que el conjunto de permutaciones de $\{1,2\ldots, n\}$ que tienen algún punto fijo es $\bigcup_{i=1}^{n} X_{i}$ y, en consecuencia, \begin{eqnarray*} !n = n! - \left| \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}\right|. \end{eqnarray*} Puesto que por el principio de inclusión-exclusión: \begin{eqnarray*} \left| \bigcup_{i=1}^{n}X_{i}\right| &=& \sum_{i=1}^{n} \left|X_{i}\right| - \sum_{1 \leq i< j \leq n} |X_{i} \cap X_{j}| \\ &+& \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |X_{i} \cap X_{j} \cap X_{k}| - \ldots + (-1)^{n-1} \left| \bigcap_{i=1}^{n} X_{i}\right|, \end{eqnarray*} todo se ha reducido a calcular los cardinales que aparecen en el miembro derecho de esta ecuación. Para $i \in \{1,2,\ldots, n\}$ se cumple que $|X_{i}| = (n-1)!$ y, por tanto, $\sum_{i=1}^{n}|X_{i}| = (n-1)!\binom{n}{1}$. Sean ahora $i,j \in \{1,2,\ldots,n\}$ con $i< j$. Puesto que hay $(n-2)!$ elementos de $S_{n}$ que fijan tanto a $i$ como a $j$, se sigue que: \begin{eqnarray*} \sum_{1 \leq i< j \leq n} |X_{i} \cap X_{j}| = (n-2)! \times |\{(i,j): 1\leq i< j \leq n\}| = (n-2)! \binom{n}{2}. \end{eqnarray*} y, en general, si $\ell \in \{1, 2, \ldots, n\}$, entonces: \begin{eqnarray*} \sum_{1\leq i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{\ell} \leq n} |X_{i_{1}} \cap X_{i_{2}} \cap \ldots \cap X_{i_{\ell}}| = (n-\ell)! \binom{n}{\ell}. \end{eqnarray*} Así, \begin{eqnarray*} !n &=& n! - \left| \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}\right|\\&=& n! - \left((n-1)!\binom{n}{1} - (n-2)! \binom{n}{2} + \ldots + (-1)^{n-2}\binom{n}{n-1} + (-1)^{n-1}\right)\\ &=& (n-2)!\binom{n}{2} - (n-3)!\binom{n}{3} + \ldots + (-1)^{n-1}\binom{n}{n-1} +(-1)^{n}\\ &=& n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i}}{i!}. \end{eqnarray*} El lector interesado puede encontrar una demostración alternativa de $(\ref{subfact})$ en [9]H.S. Wilf, generatingfunctionology. Second Edition, AK Peters Ltd., 1994., pág. 45.
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Notemos en primer lugar que podemos suponer que $c=1$, pues, si calculamos el radio $R$ de convergencia de la serie \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}z^{k} \end{eqnarray*} en tal caso, entonces, el radio de convergencia de la serie cuando $c_{0}=c \neq 1$, será simplemente $\frac{R}{|c|}.$
Supongamos que $z \neq 0$ está en el disco de convergencia de la serie $\sum_{k=0}^{\infty} c_{k}z^{k}.$ Vamos a deducir a continuación una fórmula cerrada para los coeficientes $c_{k}$ de tal manera que podamos aplicar después la fórmula de Cauchy-Hadamard a la serie de potencias $\sum_{k=0}^{\infty} c_{k}z^{k}$ (ver [1]L.V. Ahlfors, Complex Analysis. Third Edition, McGraw-Hill, 1985., pp. 38-39. o [6]M. Spivak, Calculus. Segunda Edición, Ed. Reverté, S.A., 1992., p. 783.). De \begin{eqnarray*} f^{2}(z) &=& (c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\ldots)(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\ldots) \\ &=& (c_{0}c_{0}) + (c_{0}c_{1}+c_{1}c_{0})z + (c_{0}c_{2}+c_{1}c_{1}+c_{2}c_{0})z^{2} + \ldots \\ &=& c_{1} + c_{2}z + c_{3}z^{2} + c_{4}z^{3}+\ldots\\ &=& \frac{f(z)-c_{0}}{z}\\ &=& \frac{f(z)-1}{z} \end{eqnarray*} se sigue que: \begin{eqnarray} f(z) = \frac{1 \pm \sqrt{1-4z}}{2z}. \label{function} \end{eqnarray} Puesto que $f(0)=1$, podemos suponer que el signo correcto en (\ref{function}) es el negativo. Por otro lado, se sabe que si $|4z|< 1$, entonces: \begin{eqnarray} \nonumber \sqrt{1-4z} &=& 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-1)\cdots (\frac{1}{2}-n+1)}{n!} (-4z)^{n}\\ &=& 1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)(1- 2\cdot 1)\cdots (1-2(n-1))}{2^{n}n!} (-4z)^{n} \nonumber\\ &=& 1+ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{(1)(3)\cdots (2n-3)}{2^{n}n!} (-4z)^{n} \nonumber\\ &=& 1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)(3)\cdots (2n-3)2^{n-1}}{n!}z^{n} \nonumber\\ &=& 1- 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)(3)\cdots (2n-3)2^{n-1}(n-1)!}{n!(n-1)!}z^{n} \nonumber \\ &=& 1-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1}z^{n}. \label{identity} \end{eqnarray} De (\ref{function}) y (\ref{identity}), se desprende que: \begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} z^{n-1}. \end{eqnarray*} Así, dado que $c_{k}$ es el coeficiente del término de grado $k$ en la serie de potencias que define a la función $f$, concluimos que para cada $k \in \mathbb{Z}^{+}$ \begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}. \end{eqnarray*} De la fórmula de Cauchy-Hadamard, se sigue, entonces, que el radio de convergencia $R$ de la serie en cuestión es: \begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty} \frac{1}{\left(\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\right)^{\frac{1}{k}}}. \end{eqnarray*} Para determinar el límite anterior, aplicamos la siguiente versión de la fórmula de Stirling (veáse [2] T.M. Apostol, Calculus, Vol. 2. Ed. Reverté, S.A., por ejemplo): si $k$ es un número entero positivo, se tiene que: \begin{eqnarray*} \sqrt{2 \pi} k^{k+\frac{1}{2}}e^{-k} < k! < \sqrt{2 \pi} k^{k+\frac{1}{2}}e^{-k}\left(1+\frac{1}{4k}\right). \end{eqnarray*} En vista de esto, se obtiene que, para cada $k \in \mathbb{N}$ \begin{eqnarray*} \frac{2^{2+\frac{1}{2k}}}{(k+1)^{\frac{1}{k}}(2\pi)^{\frac{1}{2k}}k^{\frac{1}{2k}}\left(1+\frac{1}{4k}\right)^{\frac{2}{k}}} < \left(\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\right)^{\frac{1}{k}}<\frac{2^{2+\frac{1}{2k}}\left(1+\frac{1}{8k}\right)^{\frac{1}{k}}}{(k+1)^{\frac{1}{k}}(2\pi)^{\frac{1}{2k}}k^{\frac{1}{2k}}}. \end{eqnarray*} En consecuencia: \begin{eqnarray*}R=\frac{1}{4}.\end{eqnarray*}
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Los números $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots$ que se originan al tomar $c_{0}=1$ se conocen como números de Catalan. Hay muchas interpretaciones a nivel combinatorio para estos números. Una de las más conocidas es la siguiente: si $n>0$, entonces $c_{n}$ es el número de triangulaciones diferentes de un $(n+2)$-ágono mediante $n-1$ diagonales que no tienen puntos en común (aparte de vértices del $(n+2)$-ágono). Richard Stanley compendió en [7]R. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge University Press, 1999., pp. 219-229 y [8]R. Stanley, Catalan Addendum. alrededor de 207 interpretaciones combinatorias distintas para los números de Catalan.
A continuación, enunciamos los problemas 6, 7 y 8 de “El Baúl de Problemas”. Como comentamos al inicio, también nos gustaría proponer problemas adicionales para generar nuevas discusiones. Por esta razón, anexamos a la lista otros dos problemas. Estos cinco problemas se pueden encontrar en el foro El irracional en donde es posible comentarlos y/o resolverlos.
En la siguiente entrega platicaremos de los avances que tenemos en estos problemas y de las soluciones y comentarios que recibamos.
¡Hasta el próximo número!
[1] L.V. Ahlfors, Complex Analysis. Third Edition, McGraw-Hill, 1985.
[2] T.M. Apostol, Calculus, Vol. 2. Ed. Reverté, S.A.
[3] L. Babai; J. Spencer, Paul Erdős (1913-1996). Notices Amer. Math. Soc. 1 (45), 1998, pp. 64-73.
[4] P.R. Halmos, The Heart of Mathematics. Amer. Math. Monthly 87 (7), Aug. - Sep. 1980, pp. 519-524.
[5] Miscelánea Matemática, 19.
[6] M. Spivak, Calculus. Segunda Edición, Ed. Reverté, S.A., 1992.
[7] R. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge University Press, 1999.
[8] R. Stanley, Catalan Addendum.
[9] H.S. Wilf, generatingfunctionology. Second Edition, AK Peters Ltd., 1994.
