Explicadas: topologías de Grothendieck

Uno de los conceptos más útiles en las matemáticas es el de un espacio topológico. Sin embargo, en geometría hay casos en que la definición usual de la topología sobre un conjunto es insuficiente. En particular, esto sucede cuando uno quiere dotar a una variedad algebraica de una topología natural.

El ejemplo más básico de una variedad algebraica es el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. La topología de Zariski en $\mathbb{C}$ se obtiene si se consideran como abiertos únicamente los subconjuntos abiertos en $\mathbb{C}$ definidos “algebraicamente”; es decir, los dominios de definición de las funciones racionales. Cada abierto de esta forma es un complemento de un subconjunto finito en $\mathbb{C}$ (el conjunto de polos de una función racional); el conjunto vacío también se tiene que considerar como abierto.

Uno nota de inmediato que la topología de Zariski tiene propiedades extrañas. En particular, ¡cada par de abiertos no vacíos en $\mathbb{C}$ tienen intersección no vacía! Un problema más serio surge si consideramos la topología de Zariski en $\mathbb{C}^*=\mathbb{C}-0$; los abiertos no vacíos para esta topología en $\mathbb{C}^*$ son los complementos de subconjuntos finitos en $\mathbb{C}^*$. Resulta que en esta topología los invariantes topológicos de $\mathbb{C}^*$ no coinciden con sus valores para la topología usual dada por la métrica euclidiana.

Con la topología usual, $\mathbb{C}^*$ es homeomorfo al producto cartesiano de un círculo $S^1$ con un intervalo. Por lo tanto, — como se enseña en un curso de topología algebraica — sus invariantes topológicos, tales como el grupo fundamental, o los grupos de cohomología de Čech, coinciden con los de $S^1$; a saber, $$\check{H}^1(\mathbb{C}^*,\mathbb{C})=\mathbb{C}.$$ Por el otro lado, todos los grupos de cohomología de Čech de $\mathbb{C}^*$ (y de las demás variedades algebraicas) en la topología de Zariski resultan triviales en las dimensiones mayores que cero.

Por supuesto, en $\mathbb{C}^*$ tenemos la topología de la métrica euclidiana y no es necesario utilizar la topología de Zariski para estudiar la geometría de los números complejos. Sin embargo, en otros campos, la topología de Zariski puede ser la única opción disponible (considerando que la topología discreta no es de mucho interés). Existen dos maneras de corregir los defectos de la topología de Zariski para que ésta produzca los grupos de cohomología no triviales. La primera consiste en generalizar la definición de la cohomología y considerar la cohomología de Čech con coeficientes en gavillas. La segunda es añadir más abiertos a la topología de Zariski; sin embargo, la única manera conocida de hacerlo requiere modificar la definición de una topología.

Además de los dominios de definición de las funciones racionales, queremos considerar como conjuntos abiertos en $\mathbb{C}$ o en $\mathbb{C}^*$ los dominios de definición de todas las funciones algebraicas, tales como $\sqrt{z}$ o $(\sqrt{z^2+1})^{-1}$. Éstos, sin embargo, no son subconjuntos de $\mathbb{C}$, sino cubiertas de los abiertos en $\mathbb{C}$, con un número finito de hojas, lo que motiva la siguiente definición.

Un abierto étale en $\mathbb{C}$ es un espacio $X$ junto con una función $p: X\to U$ que se puede convertir en un recubrimiento finito al añadir un número finito de puntos a $X$; aquí $U\subseteq \mathbb{C}$ es un abierto en la topología de Zariski. En otras palabras, un abierto étale es el complemento de un conjunto finito en un espacio cubriente de un abierto en $\mathbb{C}$. Un morfismo de abiertos étales $p_1\to p_2$ ($p_i:X_i\to U_i$) con $U_1\subseteq U_2$ es una función $f: X_1\to X_2$ tal que $p_2\circ f = p_1$. Los morfismos de abiertos étales se tienen que pensar como análogos a las inclusiones de abiertos de Zariski. Para construir algo que se asemeje a una topología a partir de los abiertos étales, necesitamos definir la “intersección” de dos abiertos.

Recordemos que la intersección de dos abiertos $U$ y $V$ se puede definir como el máximo abierto $A$ tal que $A\subseteq U$ y $A\subseteq V$. La maximalidad de $A$ significa que, para cualquier otro abierto $B$ con $B\subseteq U$ y $B\subseteq V$, se cumple que $B\subseteq A$. De la misma manera, la “intersección” de dos abiertos étales $p: X\to U$ y $q: Y\to V$ es un abierto étale maximal $r: Z\to W$ con dos morfismos $i_p: r\to p$ y $i_q:r\to q$. Aquí, la maximalidad de $r$ significa que, para cualquier abierto étale $r'$ que admite morfismos $f_p$ a $p$ y $f_q$ a $q$, existe un morfismo $f_r$ tal que $f_p=i_p\circ f_r$ y $f_q=i_q\circ f_r$.

Teniendo la noción de lo que es la intersección de dos abiertos étales, uno puede definir un análogo de la cohomología de Čech. El resultado se llama la cohomología étale. Mientras para los números complejos la cohomología étale no es un invariante interesante, para las variedades algebraicas en general resultó ser extremadamente útil; en particular, Grothendieck definió la cohomología étale para atacar (exitósamente) las conjeturas de Weil.

Los abiertos étales no forman una base de topología para una variedad algebraica en el sentido usual. Como entendió Grothendieck, sólo significa que el concepto de un espacio topológico se debe generalizar. La base de esta generalización son las categorías y el punto de partida es el hecho de que los abiertos de un espacio topológico forman una categoría cuyos objetos son los abiertos y cuyos morfismos son las inclusiones de los abiertos. Uno de los puntos claves es el hecho de que en la teoría de categorías existe un concepto que generaliza la intersección de dos abiertos: es el concepto del producto fibrado. Para las categorías donde existen ciertos productos fibrados, uno puede definir las pretopologías de Grothendieck de la siguiente manera.

Una pretopología de Grothendieck sobre una categoría $C$ es una colección de familias de morfismos $\{ X_{\alpha}\to X \}$ para todos los objetos $X$ de la categoría $C$, llamadas las familias cubrientes. Las familias cubrientes deben satisfacer los siguientes axiomas:

El producto fibrado $Y \times_{X} Z$ existe para cualquier morfismo $Y\to X$ de una familia cubriente y cualquier morfismo $Z\to X$.
Para cualquier morfismo $Z\to X$ y cualquier familia cubriente $\{ X_{\alpha}\to X \}$, la familia de morfismos $\{ X_{\alpha}\times_{X} Z \to Z \}$ es una familia cubriente.
Si $\{ X_{\alpha}\to X \}$ es una familia cubriente y si para cada $\alpha$ se tiene que $\{ (X_{\alpha})_{\beta}\to X_{\alpha} \}$ es una familia cubriente, entonces la familia de composiciones $\{ (X_{\alpha})_{\beta}\to X_{\alpha} \to X\}$ es una familia cubriente.
Si $f: Y\to X$ es un isomorfismo, entonces $\{f\}$ es una familia cubriente.

En particular, si $C$ es la categoría de abiertos de un espacio topológico $\mathcal{X}$, la pretopología de Grothendieck en $C$ se define declarando que, para cada abierto $U\subseteq \mathcal{X}$, las familias cubrientes $\{ U_{\alpha} \to U\}$ son precisamente las familias de abiertos $U_{\alpha}\subseteq U$ tales que $\cup_{\alpha} U_{\alpha}=U$. Los abiertos étales en una variedad algebraica también forman una pretopología de Grothedieck.

La noción de una pretopología en una categoría es, en cierto sentido similar a la de una base de topología de un espacio topológico: dos pretopologías de Grothendieck diferentes pueden describir la misma topología de Grothendieck. Esencialmente, especificar una topología de Grothendieck sobre una categoría consiste en señalar los morfismos que se consideran como “cubrientes”.

Para un objeto $X$ de la categoría $C$ una criba $S$ sobre $X$ es un conjunto de morfismos a $X$ cerrado bajo la pre-composición: si $f:Y\to X$ está en $S$ y $g: Z\to Y$ es un morfismo cualquiera, entonces $f\circ g: Z\to X$ también está en $S$.

Una topología de Grothendieck sobre una categoría $C$ es una colección de cribas sobre todos los objetos de $C$, llamadas las cribas cubrientes. Las cribas cubrientes deben satisfacer los siguientes axiomas:

Si $S$ es una criba cubriente sobre $X$ y $f:Y\to X$ es un morfismo, entonces la criba $f^* S$ sobre $Y$, la cual consiste de los morfismos a $Y$ cuya composición con $f$ está en $S$, también es una criba cubriente.
Para cada objeto $X$, la criba maximal sobre $X$ (la que consiste de todos los morfismos a $X$) es una criba cubriente.
Dos cribas $R,S$ sobre $X$ son cubrientes si y sólo si su intersección $R\cap S$ es una criba cubriente.
Si $S$ es una criba sobre $X$ tal que la criba $$\cup_Y \{f:Y\to X\, |\, f^*S\ \text{es una criba cubriente} \}$$ es una criba cubriente sobre $X$, entonces, $S$ también es una criba cubriente.

Para cada pretopología de Grothendieck existe un mínima topología de Grothendieck para la cual cada criba que contiene una familia cubriente es una criba cubriente. Una categoría con una topología de Grothendieck sobre ella se llama sitio.

En topología y geometría, una variedad es un espacio construido de unas “partes elementales”, usualmente, espacios euclidianos $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$. Una variedad puede ser topológica, diferenciable, analítica, et cétera, dependiendo de la manera de ensamblar estas partes elementales. Una variedad algebraica sobre un campo $k$ está ensambalada de las partes elementales que son conjuntos de ceros de uno o varios polinomios en el espacio afín $k^n$. Estas partes elemenales se conocen como variedades algebraicas afines.

Entre los invariantes de los espacios topológicos, tales como la caractersitica de Euler o el grupo fundamental, unos de los más importantes son los grupos de cohomología, o, simplemente la cohomología. Éstos grupos se pueden calcular de varias maneras: por ejemplo, la cohomología calculada a través de una descomposición poliedral de un espacio se llama la cohomología celular, por medio de formas diferenciales — la cohomología de de Rham, et cétera. (Usualmente, todos los métodos de calcular la cohomología producen el mismo resultado.) La cohomología de Čech se puede calcular por medio de las cubiertas abiertas de un espacio; para esto se necesita saber la combinatoria de las intersecciones de los abiertos. Para los detalles, invitamos a consultar el artículo de Wikipedia (en inglés).

Sean $f: A\to D$ y $g: B\to D$ dos morfismos en una categoría. Sea $P$ un objeto con dos morfismos $i_A: P \to A$ y $i_B: P \to B$, tal que $i_A\circ f=i_B\circ g$. Supongamos que para cualquier otro objeto $P'$ de este tipo, con los morfismos $i'_A: P' \to A$ y $i'_B: P' \to B$, existe un único morfismo $p: P'\to P$ tal que $i'_A = i_A \circ p$ y $i'_B = i_B \circ p$. En este caso $P$ se llama el producto fibrado de $A$ y $B$ sobre $D$. El producto fibrado no sólo depende de $A$, $B$ y $D$, sino de los morfismos $f$ y $g$.

El ejemplo más básico de un producto fibrado es el caso cuando $A$ y $B$ son subconjuntos de un conjunto $D$ y $f$ y $g$ son las inclusiones correspondientes. Aquí, el producto fibrado de $A$ y $B$ sobre $D$ es la intersección de $A$ y $B$. Para más ejemplos, se puede consultar el artículo de Wikipedia (en inglés).