Jacob Lurie ha trabajado en varias áreas distintas dentro de la geometría algebraica y la topología algebraica que tienen en común el uso de ideas de la teoría de categorías superiores. También ha contribuido enormemente al desarrollo de los fundamentos de la teoría de categorías superiores. Este artículo intenta dar una idea aproximada de lo que tratan las $\infty$-categorías, la geometría algebraica derivada, la hipótesis del cobordismo y las formas modulares topológicas y de las contribuciones de Lurie a estas áreas. Está escrito pensando en gente con conocimientos variados, así que invitamos al lector a brincarse párrafos cuyas palabras clave le resulten conocidas y regresar a leerlos si más adelante algo sugiere que esto es necesario. Probablemente sobra decir que si el lector está preguntándose si la frase ''idea aproximada'' empleada en el enunciado antepasado significa que este artículo omite muchos detalles técnicos importantes, la respuesta es un rotundo sí.
La teoría de categorías proporciona un lenguaje común útil para comparar áreas diversas de la matemática. En muchas ramas de la matemática se definen cierto tipo de objetos a estudiar y se definen morfismos entre ellos, usualmente funciones de algún tipo que preservan las estructuras importantes que poseen los objetos. La colección de los objetos y sus morfismos forma una categoría. La definición de categoría pone muy pocas restricciones: solo hace falta tener definida una composición entre morfismos (cuando el codominio de uno coincide con el dominio del siguiente) que tenga identidades y sea asociativa. Muchas relaciones importantes entre distintas ramas de la matemática se pueden captar por medio de funtores, que son la noción adecuada de morfismo entre categorías.
La misma categoría de categorías muestra ya el deseo de ir más allá de la noción de categoría: además de objetos (las categorías) y morfismos (los funtores), tiene algo que sirve para relacionar distintos morfismos entre sí, a saber, las transformaciones naturales. Este es el ejemplo más natural de $2$-categoría. En general, una $n$-categoría tiene objetos, morfismos entre objetos, $2$-morfismos entre morfismos, $3$-morfismos entre $2$-morfismos, y así sucesivamente hasta llegar a $n$-morfismos. No tenemos porqué parar y podemos consider $\omega$-categorías, que tienen $n$-morfismos para cada $n$.
La composición de funtores es asociativa, pero en el mundo de categorías superiores esto es una anomalía. Por ejemplo, podemos pensar en obtener una $n$-categoría de cualquier espacio topológico tomando como objetos los puntos del espacio, como morfismos trayectorias conectando los puntos, como $2$-morfismos homotopías entre trayectorias, como $3$-morfismos homotopías entre homotopías y así sucesivamente. Esta $n$-categoría construida a partir de un espacio $X$ se conoce como el $n$-grupoide fundamental de $X$, $\pi_{\le n}(X)$. La composición en $\pi_{\le n}(X)$ está dada por concatenar trayectorias y homotopías. Pero, en general, no hay manera de definir esta operación de manera que resulte estrictamente asociativa: si $\alpha, \beta, \gamma$ son tres trayectorias o tres homotopías, $(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$ es homotópica a $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$ más no igual.
Podríamos considerar solo $n$-categorías donde la composición es estrictamente asociativa, las llamadas $n$-categorías estrictas, pero esto realmente deja fuera muchos de los ejemplos más importantes de categorías superiores, así que es mejor considerar una noción más general: la de $n$-categoría débil, que aquí llamaremos simplemente $n$-categoría y describiremos a continuación.
En la teoría de categorías superiores se exige entonces, no que la composición de $k$-morfismos sea estrictamente asociativa, sino solamente que exista un $(k+1)$-morfismo invertible $$(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma \to \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$$ que es testigo del tipo de asociatividad que sí tiene la composición. Pero el asunto no para ahí: dados cuatro $k$-morfismos, $\alpha, \beta, \gamma$ y $\delta$, hay dos maneras de usar los testigos de asociatividad de tercias de estos morfismos para obtener un $(k+1)$-morfismo invertible entre $\alpha \cdot (\beta \cdot (\gamma \cdot \delta))$ y $(((\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma) \cdot \delta)$. Estos dos $(k+1)$-morfismos deben ser escencialmente el mismo para que funcioné bien la teoría, así que exigimos también la presencia de un $(k+2)$-morfismo invertible como testigo de la compatibilidad de los testigos de la asociatividad. Y así continuamos, pidiendo más y más testigos hasta llegar a $n$-morfismos (donde ya no queda más opción que pedir igualdades) o sin parar, en el caso de $\omega$-categorías. Esto suele resumirse diciendo que la composición es asociativa salvo homotopía coherente.
La lista de testigos y las fórmulas que deben satisfacer se vuelve complicada muy pronto y de hecho solo se han escrito definiciones de $n$-categorías con listas explícitas de condiciones para $n\le 4$. En vez de eso, se han encontrado formas muy ingeniosas de especficar los sistemas completos de testigos de maneras indirectas.
La teoría más completa y más práctica en categorías superiores ocurre para las $(\infty,1)$-categorías, muchas veces abreviadas a simplemente $\infty$-categorías. Éstas son $\omega$-categorías en las que todos los $k$-morfismos para $k > 1$ son invertibles. Esto tiene el efecto quizá inesperado de volver su teoría mucho más parecida a la de las categorías ordinarias que a la de las $\omega$-categorías generales (que hasta la fecha no ha visto mucho desarrollo). Lo que simplifica tanto tratar a las $\infty$-categorías es que dados dos objetos $X$ y $Y$ en una $\infty$-categoría $\mathcal{C}$, si nos fijamos en los morfismos de $X$ a $Y$, en los $2$-morfismos entre estos morfismos, y así sucesivamente, obtenemos una nueva $\infty$-categoría $\mathcal{C}(X,Y)$ (cuyos $k$-morfismos son algunos de los $(k+1)$-morfismos de $\mathcal{C}$). Pero esta $\infty$-categoría $\mathcal{C}(X,Y)$ tiene la propiedad muy especial de que todos sus $k$-morfismos, para toda $k\ge 1$, son invertibles y para ellas tenemos la hipótesis homotópica de Grothendieck.
En su manuscrito Pursuing Stacks, Grothendieck propuso que la teoría de las $\omega$-categorías con todos sus morfismos invertibles, llamadas $\infty$-grupoides, debe ser equivalente a teoría de homotopía de los espacios topológicos. La equivalencia significa que cualquier $\omega$-categoría con todos sus morfismos invertibles es equivalente al $\infty$-grupoide fundamental $\pi_{\le \infty}(X)$ de algún espacio topológico $X$, único salvo equivalencia homotópica. (Dado que no había definiciones viables de $\omega$-categorías cuando Grothendieck propuso esa hipótesis, tenía más bien el carácter de un requisito que se le pedía a las futuras definiciones.)
La hipótesis de homotopía sugiere que podríamos adoptar como definición de $\infty$-categoría la de topología enriquecida en espacios topológicos, es decir, categorías (ordinarias, no superiores) donde los conjuntos de morfismos están dotados de una topología para la cual la composición es continua. Esto funciona y hasta cierto punto proporciona la intuición correcta: solo debe uno tener presente que los espacios topológicos precisos que aparecen como espacios de morfismos no importan, solo importa su tipo de homotopía. Pero por varias razones técnicas no es el mejor modelo para trabajar con $\infty$-categorías.
Afortunadamente ya existen varios modelos distintos que se ha probado son equivalentes. Uno en particular, el de cuasicategorías, tiene ya una teoría muy completa. Las cuasicategorías aparecieron primero en la teoría de homotopía en el trabajo de Michael Boardman y Rainer Vogt bajo el nombre de complejos débiles de Kan. Después, André Joyal enfatizó la importancia de generalizar la teoría de categorías ordinarias al contexto de cuasicategorías y ha estado escribiendo un libro de texto sobre el tema [Joyal]A. Joyal, The theory of quasi-categories I, aún sin terminar, versiones preliminares disponibles, 2008.. Mientras tanto Lurie escribió dos volúmenes enormes que forman un tratado sistemático de la teoría de $\infty$-categorías que incluye muchos de los resultados de Joyal y varios temas adicionales. El primer volumen, Higher Topos Theory [HTT]J.Lurie, Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies, 170, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009. incluye los fundamentos de las $\infty$-categorías incluyendo la equivalencia de los dos modelos ya mencionados, y versiones $\infty$-categóricas de límites y colímites, adjunciones, el teorema del funtor adjunto, la construcción de Grothendieck, la teoría de categorías accesibles y presentables y la teoría de topos de Grothendieck. El segundo volumen, Higher Algebra [HA]J.Lurie, Higher algebra, 2012., aún por publicarse, cubre estructuras monoidales, $\infty$-categorías estables que sustituyen tanto a las categorías abelianas como a las categorías trianguladas en el contexto de las $\infty$-categorías, óperads y varios temas de la teoría de homotopía desde el punto de vista categórico: anillos espectro $E_n$, el cálculo de funtores de Goodwillie, etc.
El interés de Lurie al desarrollar toda esta teoría no parece ser por la teoría en sí, sino por interés en sus aplicaciones. De eso hablaremos en el resto del artículo.
La geometría algebraica inició como el estudio de figuras geométricas en $\mathbb{R}^n$ definidas por medio ecuaciones polinomiales, ahora llamadas variedades algebraicas afines reales. Desde entonces, la geometría algebraica ha pasado por varias revoluciones que le han cambiado el objeto básico de estudio volviéndola cada vez más general y más uniforme:
La geometría algebraica derivada agrega a esta lista los esquemas derivados e incluso almiares derivados. Sus definiciones son versiones $\infty$-categóricas de las definiciones de esquema y almiar: donde esas usan funtores entre categorías (las gavillas se pueden definir como cierta clase de funtores), las versiones derivadas usan $\infty$-funtores entre $\infty$-categorías. Esto tal vez es más claro desde el punto de vista del funtor de puntos: un esquema se puede definir como cierto tipo de funtor de la categoría de anillos conmutativos a la de conjuntos, para definir almiar, se usan funtores de anillos conmutativos a la $2$-categoría de grupoides. En las versiones derivadas, reemplazamos las categorías de conjuntos y grupoides por la $\infty$-categoría de espacios topológicos. La categoría de anillos se puede reemplazar por alguna $\infty$-categoría de objetos que sean como una versión homotópica de anillos, opciones populares incluyen los anillos simpliciales (usados en geometría algebraica desde el trabajo de Ilusie sobre el complejo cotangente), anillos diferenciales graduados (que son complejos de cadena $E_\bullet$ dotados de una multiplicación $E_\bullet \otimes E_\bullet \to E_\bullet$) o anillos espectros $E_\infty$ (usados para aplicaciones a la teoría de homotopía, ver la sección sobre formas modulares topológicas).
El lector que no esté familiarizado con estas generalizaciones de anillos puede empezar por imaginarse anillos topológicos, es decir, anillos dotados de una topología para la cual la suma y la multiplicación son continuas. Mejor aún es imaginar que en lugar de ser estrictamente asociativas y conmutativas las operaciones solo lo son salvo homotopía coherente. Como ya mencionamos, una diferencia importante entre los esquemas y las nociones anteriores es el uso de anillos con elementos nilpotentes: no hay nilpotentes en los anillos de funciones que se obtienen de variedades; de la misma forma uno puede pensar que estos anillos generalizados $A$ extienden a los anillos conmutativos al permitir grupos de homotopía no triviales $\pi_n(A)$ con $n \ge 1$.
Podría parecer un poco extraño que se necesiten conceptos tanto de esquema derivado como de almiar derivado, cuando los almiares son más generales. Sin embargo, es útil tener ambos conceptos: el paso de esquemas a almiares y el paso de lo no derivado a lo derivado son ortogonales, es decir, resuelven problemas independientes y en un caso dado uno puede tener problemas de un tipo, del otro o de ambos. Los almiares pueden pensarse como una manera de ''corregir'' cocientes de esquemas por acciones de grupo. Por ejemplo si un grupo $G$ actúa libremente sobre un esquema $X$, las gavillas sobre el cociente $X/G$ son gavillas $G$-equivariantes sobre $X$ mismo (esto es, gavillas sobre $X$ dotadas de una acción $G$ compatible con la acción sobre $X$). Cuando la acción de $G$ no es libre, la relación entre la geometría $G$-equivariante de $X$ y la geometría de $X/G$ es complicada de expresar (aparte del problema de decir exactamente que quiere decir $X/G$ en este caso). Considerar el cociente como almiar arregla el problema: las gavillas sobre el almiar $[X/G]$ son gavillas $G$-equivariantes sobre $X$. En cambio, pasar al mundo derivado se puede ver como una manera de arreglar un problema dual: ''mejorar'' las intersecciones para que se comporten más como lo hacen en el mejor caso, las intersecciones transversales. (El lector aficionado a las categorías habrá notado que la palabra ''dual'' tiene su acepción categórica: los cocientes son colímites y las intersección son límites.)
Las ideas detrás de la geometría algebraica derivada son visibles ya desde por lo menos los ochentas cuando surgió el principio de la suavidad oculta del trabajo de Alexander Beilinson, Vladimir Drinfeld, Pierre Deligne y Maxim Kontsevich. Este principio expresaba la esperanza que había de muchos de los espacios de moduli en geometría algebraica que resultaban tener singularidades eran realmente solo versiones truncadas de espacios de moduli derivados suaves. Parece justo decir que este principio resultó no ser válido en general, pero fue una fuerte motivación para el desarrollo de la geometría algebraica derivada.
Un ejemplo temprano del uso de estos espacios derivados de moduli, antes de que la maquinaria estuviera en funcionamiento es el artículo Enumeration of Rational Curves via Torus Actions de Konstevich. Fue Kontsevich también quien introdujo después los esquemas derivados basados en anillos diferenciales graduados que Ionut Ciocan-Fontanine y Mikhail Kapranov usaron para construir versiones derivadas de espacios de moduli importantes en la escuela de Grothendieck: el esquema $\text{Quot}(\mathcal{F})$ que parametriza cocientes de una gavilla dada $\mathcal{F}$ y $\text{Hilb}(X)$ que parametriza subesquemas cerrados de una variedad $X$ dada.
Lurie ha escrito mucho sobre geometría algebraica derivada, aprovechando los sólidos fundamentos $\infty$-categóricos proporcionados por sus libros. En la serie de artículos conocida como DAG ([DAG5]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry V: Structured Spaces, 2011., [DAG7]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry VII: Spectral Schemes, 2011., [DAG8]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry VIII: Quasi-Coherent Sheaves and Tannaka Duality Theorems, 2011., [DAG9]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry IX: Closed Immersions, 2011., [DAG10]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry X: Formal Moduli Problems, 2011., [DAG11]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry XI: Descent Theorems, 2011., [DAG12]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry XII: Proper Morphisms, Completions, and the Grothendieck Existence Theorem, 2011., [DAG13]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry XIII: Rational and $p$-adic Homotopy Theory, 2011., [DAG14]J.Lurie, Derived Algebraic Geometry XIV: Representability Theorems, 2012.), Lurie desarrolló los fundamentos de una versión muy general de la geometría algebraica derivada, aplicable a las varias elecciones de anillos mencionadas arriba e incluyendo bases para versiones derivadas de otras teorías geométricas, como la teoría de espacios analíticos. Esos artículos contienen una gran cantidad de resultados de geometría algebraica generalizados al contexto derivado y incluyen también resultados sin análogos no derivados. Ejemplos del primer tipo incluyen análogos de (1) varios teoremas de representabilidad de funtores, como el teorema de existencia de Grothendieck, el criterio de Schlessinger y el teorema de representabilidad de Artin (el resultado principal de la tesis doctoral de Lurie), (2) teoremas de descenso: descenso para la topología étale, descenso plano, descenso para $t$-estructuras, (3) dualidad de Tannaka, entre otros. Ejemplos de temas del segundo tipo incluyen tratamientos del complejo cotangente (que es más simple de tratar con $\infty$-categorías que con los fundamentos disponibles cuando Ilusie escribió sobre él) y la relación entre problemas formales de moduli y álgebras de Lie diferenciales graduadas. Los articulos DAG también incluyen aplicaciones a la teoría de homotopía, por ejemplo, un desarrollo del punto de vista $\infty$-categórico de la homotopía racional de Quillen y Sullivan y de la homotopía $p$-ádica de Mike Mandell.
Recientemente Lurie y Dennis Gaitsgory demostraron un análogo de la conjetura de Weil sobre la medida de Tamagawa para grupos algebraicos simplemente conexos y semisimples. La conjetura original era para grupos definidos sobre campos numéricos; esta versión fue demostrada por Kottwitz extendiendo trabajo anterior de K. F. Lai y Langlands. La versión probada por Lurie y Gaitsgory es para grupos definidos sobre campos de funciones de curvas. En lo que aparece el artículo, el lector puede ver las notas de curso [LurieT]Lurie, Jacob, Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincare Duality, 2014..
Además de los artículos ya mencionados de Lurie (cuyas introducciones dan buena motivación para el contenido), es muy recomendable la obra de Bertrand Toën y Gabriele Vezzosi, quienes han hecho contribuciones importantes a la geometría algebraica derivada. Recomendamos empezar por [Toen]B.Toën, Derived Algebraic Geometry, arXiv:1401.1044 [math.AG] y [Vezzosi]G.Vezzosi, A note on the cotangent complex in derived algebraic geometry, arXiv:1008.0601 [math.AG]..
Hay una relación bellísima debida a Quillen entre teorías generalizadas de cohomología dotadas de un análogo a las clases de Chern, llamadas teorías de cohomología con orientación compleja, y leyes de grupos formales. Antes de decir cuál es la relación, hablemos de cada una de estas cosas por separado.
Teorías de cohomología extraordinarias. Una teoría de cohomología extraordinaria es una colección de funtores contravariantes $E^n$ de la categoría de espacios topológicos a la de grupos abelianos que cumple todos los axiomas de Eilenberg y Steenrod para la cohomología ordinaria salvo el axioma de la dimensión (que dice que la cohomología de grado $n$ del espacio $\ast$ de un solo punto es cero cuando $n \neq 0$). Así que no hay un solo grupo abeliano asociado a $E$, sino una familia infinita de grupos abelianos $E^n(\ast)$. El grupo graduado $\oplus_n E^n(\ast)$ se conoce como los coeficientes de $E$. Una teoría es multiplicativa si permite la definición de un producto $E^m(X) \times E^n(X) \to E^{m+n}(X)$ con propiedades similares al producto en la cohomología ordinaria.
Aquellas teorías de cohomología multiplicativas $E$ en las que la inclusión $\mathbb{CP}^1 \hookrightarrow \mathbb{CP}^\infty$ induce un homomorfismo suprayectivo $E^2(\mathbb{CP}^\infty) \to E^2(\mathbb{CP}^1)$ se dice que son orientables sobre los complejos. Si escogemos un elemento de $E^2(\mathbb{CP}^\infty)$ cuya imagen es un generador de $E^2(\mathbb{CP}^1)$, lo podemos usar para construir un análogo a las clases de Chern en la cohomología ordinaria.
Leyes de grupos formales. Ahora, una ley de grupo formal es una serie de potencias $F(x,y) = x + y + \cdots$ (donde los $\cdots$ denotan términos de orden superior) tal que $$F(x,F(y,z))=F(F(x,y),z)$$ (esto solo expresa asociatividad); resulta que la existencia de inversos es automática. Dado un grupo de Lie o un grupo algebraico de dimensión $1$, la expansión en serie de potencias de su multiplicación alrededor de $(e,e)$ (donde $e$ es el elemento neutro) en un sistema de coordenadas local es una ley de grupo formal, y esto da la intuición correcta: una ley de grupo formal es una versión infinitesimal y parametrizada de un grupo de Lie o un grupo algebraico. No todas las leyes de grupos formales se obtienen de algún grupo. Hay una noción de isomorfismo para leyes de grupos formales que corresponde intuitivamente a la reparametrización. Si los coeficientes de las series de potencias los tomamos como números racionales o más generalmente como viniendo de un campo de característica $0$, todas las leyes de grupos formales son isomorfas entre sí, pero esto no es cierto con coeficientes en un campo de característica prima.
Lo que observó Quillen es que dada una teoría de cohomología extraordinaria con una orientación sobre los complejos, hay una ley de grupo formal $F$ asociada que da la fórmula para la primer clase de Chern del producto tensorial de dos haces de línea complejos en términos de las primeras clases de Chern de los haces individuales. En la teoría tradicional de clases de Chern en cohomología ordinaria la fórmula es $$c_1(L_1 \otimes L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2),$$ que corresponde a la ley aditiva $$F(x,y) = x+y.$$ En la $K$-teoría compleja, para cada haz de líneas complejo $L$ sobre un espacio $X$, hay una clase $[L] \in K(X)$; podemos tomar como la primera clase de Chern $$c_1(L) = [L]-1$$ (restamos $1$ porque el haz trivial debe tener clase $0$). Entonces, $$c_1(L_1 \otimes L_2) = [L_1 \otimes L_2] - 1 = [L_1][L_2]-1 = (1+c_1(L_1))(1+c_1(L_2)) - 1,$$ o sea, a la $K$-teoría, le corresponde la ley multiplicativa $$F(x,y) = (1+x)(1+y)-1.$$ Ambas se pueden obtener de grupos algebraicos, el grupo aditivo $\mathbb{G}_a$ y el grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$ respectivamente. Sobre un campo algebraicamente cerrado solo hay una clase más de grupos algebraicos conexos conexos y de dimensión 1: las curvas elípticas, cuyas leyes de grupo formales asociadas corresponden a las teorías de cohomología elípticas. Entonces, cada punto del espacio de moduli de curvas elípticas tiene asociada una de estas teorías de cohomología elípticas y podemos imaginar que juntas forman algo como una gavilla de teorías de cohomología sobre dicho espacio de moduli. Si tuviéramos una gavilla así, sus secciones globales serían una teoría de cohomología que ``resume'' de alguna manera todas las teorías de cohomología elípticas. Esta teoría es intuitivamente lo que debe ser la teoría de formas modulares topológicas, $\text{tmf}$ por sus siglas en inglés.
Hay dificultades técnicas serias para construirla: la noción de ''gavilla de teorías de cohomología'' es demasiado rígida para permitir las construcciones indicadas en el párrafo anterior; en particular no hay una noción satisfactoria de secciones globales de tales gavillas. En lugar de usar directamente las teorías de cohomología, podemos representarlos a través de espectros, el objeto básico de estudio en la teoría de homotopía estable. Cada teoría de cohomología generalizada está representada por un espectro y cada espectro da lugar a una teoría de cohomología. Sin embargo, los espectros son más flexibles, más parecidos a los espacios topológicos; hay una noción de equivalencia homotópica entre espectros (y dos espectros equivalentes dan lugar a teorías de cohomología isomorfas) así que hay una $\infty$-categoría natural de espectros. Es posible construir una $\infty$-gavilla de espectros que induce la gavilla de teorías de cohomología elípticas. Los primeros en construirla fueron Michael Hopkins, Haynes Miller y Paul Goerss, que notaron que paradójicamente el problema se vuelve más simple al intentar probar algo más fuerte: que se puede construir una $\infty$-gavilla de anillos espectro $E_\infty$ que induce la gavilla de teorías de cohomología elíptica.
Un anillo espectro $E_\infty$ es un espectro $A$ dotado de una multiplicación $A \wedge A \to A$ que tiene elemento neutro y es asociativa y conmutativa, pero solo en el sentido apropiado en $\infty$-categorías: que hay un sistema coherente de homotopías que son testigos de la asociatividad y conmutatividad. Estos anillos espectro son la generalización de la noción algebraica de anillo conmutativo apropiada para la teoría de homotopía estable. Realmente, son una generalización: cualquier anillo conmutativo es un anillo espectro $E_\infty$ discreto; también, muchas teorías de cohomología multiplicativas, de hecho, son anillos espectro $E_\infty$.
Así, la construcción de Hopkins, Miller y Goerss exhibe la teoría de formas modulares topológicas como un objeto en la geometría algebraica derivada. Para llevar a cabo la construcción, desarrollaron una teoría de obstrucción para morfismos entre anillos espectro $E_\infty$. Jacob Lurie ha dado una segunda construcción de $\text{tmf}$ que usa más de la maquinaria de la geometría algebraica derivada: define un problema de moduli para curvas elípticas (derivadas) que solo puede ser enunciado en el contexto derivado y después usa el criterio general de representabilidad que probó para mostrar que el problema de moduli está representado por un almiar derivado de Deligne-Mumford, cuyo espectro de secciones globales es entonces $\text{tmf}$. El futuro probablemente nos depara más aplicaciones de la geometría algebraica derivada a la teoría de homotopía.
La plática de Paul Goerss en el Seminario Bourbaki [Goerss]P.G. Goerss, Topological modular forms [after Hopkins, Miller and Lurie], Astérisque 332 (2010) Exp. No. 1005, viii, 221—255; (Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997--1011) es una excelente introducción a este tema y también a los esquemas derivados. Desde luego, también se recomienda el A Survey of Elliptic Cohomology [LurieTMF]J.Lurie, A survey of elliptic cohomology, Algebraic topology, Abel Symp.,4, 219—277, Springer, Berlin, 2009. de Jacob Lurie donde da un bosquejo detallado de la segunda construcción mencionada arriba.
En la física, la teoría de campos cuánticos permite usar las técnicas de la mecánica cuántica para construir modelos de partículas subatómicas en la física de partículas; en el estudio de materia condensada permite describir excitaciones colectivas de sistemas de muchas partículas. Matemáticamente esto se ha estudiado a través de una serie de objetos llamados teorías de campos con adjetivos que indican que clase de información toma en cuenta la teoría. En particular las teorías topológicas de campos cuánticos (TQFTs por sus siglas en inglés), sólo toman en cuenta la topología del espacio-tiempo, ignorando su geometría. Michael Atiyah propuso definir las teorías topológicas $n$-dimensionales de campos cuánticos como funtores simétricos monoidales $$\text{Bord}_{\langle n-1,n\rangle} \to \text{Vect}.$$ Aquí $\text{Bord}_{\langle n-1,n\rangle}$ denota la categoría cuyos objetos son variedades diferenciables (sin frontera) de dimensión $n-1$ y cuyos morfismos de $M$ a $N$ son (clases de difeomorfismo de) cobordismos entre $M$ y $N$, es decir, variedades de dimensión $n$ cuya frontera está identificada con la unión ajena de $M$ y $N$. Entonces, una TQFT asigna a cada variedad cerrada de dimensión $n-1$ un espacio vectorial y a cada cobordismo una transformación lineal; que la TQFT sea un funtor significa que pegar cobordismos corresponde a la composición de transformaciones lineales y lo de ''monoidal'' significa en que el espacio asociado a una unión ajena de $(n-1)$-variedades debe ser el producto tensorial de los espacios asociados a cada una de la variedades.
Esta definición implica que uno puede calcular el valor de una TQFT en un cobordismo dividiéndolo en piezas más simples y componiendo las transformaciones lineales que la TQFT en cuestión les asigna a estas piezas. Por ejemplo, cuando $n=2$, podemos dividir cualquier superficie en ''pantalones'' (una esfera menos tres discos), cilindros y semiesferas. Esto sugiere que una TQFT está determinada por un puñado de sus valores. Poner esto en práctica se vuelve más y más complicado en dimensiones superiores porque las piezas necesarias para construir todas las variedades de dimensión $n$ aumentan tanto en número como en complejidad. Uno podría esperar que resultaría una teoría más simple al permitir formas más generales de subdividir los cobordismos: la definición de Atiyah permite cortar a lo largo de subvariedades de dimensión $n-1$, pero si permitiéramos, por ejemplo, cortar a lo largo de subvariedades de cualquier dimensión, podríamos triangular las variedades. La hipótesis del cobordismo conjeturada por John Baez y James Dolan [BaezDolan]J. Baez, J. Dolan,Higher-dimensional algebra and topological quantum field theory, J. Math. Phys., 36 (1995), 6073—6105. no va tan lejos y no vuelve tan fácil formar cualquier cobordismo, pero sí reemplaza a las TQFTs por una noción similar que permite piezas de cualquier dimensión.
Una teoría topológica de campos cuánticos extendida con valores en una $n$-categoría simétrica monoidal $\mathcal{C}$ se define como un funtor simétrico monoidal $\text{Bord}_n \to \mathcal{C}$, donde el dominio no es una simple categoría sino una $n$-categoría: para cada $k$ entre $0$ y $n-1$ sus $k$-morfismos son variedades diferenciables de dimensión $k$ con esquinas; los $(k+1)$-morfismos entre dos $k$-morfismos son cobordismos entre ellos.
La hipótesis del cobordismo: Una teoría topológica de campos cuánticos extendida de dimensión $n$ está totalmente determinada por el valor que le asigna al punto (considerado como variedad de dimensión $0$). El valor asignado al punto debe ser un objeto completamente dualizable y hay una biyección entre las clases de isomorfismo de TQFTs extendidas y las clases de isomorfismo de objetos completamente dualizables en $\mathcal{C}$.
Para explicar el significado de completamente dualizable, empecemos por definir objeto dualizable, que es una manera de decir que un objeto es ''pequeño''. Por ejemplo, en la categoría de espacios vectoriales, los objetos dualizables son los espacios vectoriales de dimensión finita que se pueden caracterizar exclusivamente en términos del producto tensorial de espacios vectoriales y de transformaciones lineales como sigue:
En caso de que $V$ sea de dimensión finita podemos tomar $W = V^\ast$, $\eta(1)$ como el elemento de $V \otimes V^\ast \cong \hom(V,V)$ que corresponde a la identidad, y $\epsilon$ como la evaluación. Dejamos al lector la verificación de que esto funciona y también la prueba del recíproco.
En una categoría monoidal arbitraria definimos un objeto dualizable $V$ como un objeto para el cual existe otro objeto $W$ y morfismos $\eta$ y $\epsilon$ con las propiedades que aparecen en la proposición (reemplazamos $k$ por el objeto neutro para el producto tensorial de la categoría en cuestión).
El lector familiarizado con la teoría de categorías habrá notado el parecido entre la definición de objeto dualizable y la definición de funtores adjuntos, la diferencia es sólo de ''nivel categórico'': los objetos dualizables son, claro, objetos y los testigos de su dualizabilidad, $\eta$ y $\epsilon$ son morfismos; en cambio, en la 2-categoría de categorías los funtores adjuntos son morfismos y los testigos de su dualizabilidad, la unidad y counidad de la adjunción, son 2-morfismos. En general, podemos repetir esta definición en cualquier nivel y definir así $k$-morfismos dualizables. Ahora podemos finalmente decir que son los objetos completamente dualziables en una $n$-categoría simétrica monoidal: son objetos dualizables cuyos testigos de dualizabilidad son a su vez dualizables, también con testigos dualizables, etc., con $(n-1)$ niveles de dualizabilidad en total. Nótese que esto realmente depende de $n$: una $n$-categoría simétrica monoidal también se puede considerar como $(n+1)$-categoría simétrica monoidal, pero ser dualizable hasta el nivel $(n-1)$ es distinto de ser dualizable hasta el nivel $n$.
Está versión de la hipótesis del cobordismo con $n$-categorías fue demostrada para $n=2$ en la tesis doctoral de Christopher Schommer-Pries, pero para $n>2$ la falta de una teoría sólida y práctica de $n$-categorías impidió el avance (hasta la fecha solo hay definiciones formales escritas de $n$-categoría para $n \ge 4$). Una de las ideas claves de Lurie fue demostrar mejor una versión más general usando la teoría de $(\infty,n)$-categorías (que son $\omega$-categorías con todos los $k$-morfismos invertibles para $k>n$) y luego deducir la versión original truncando. Lurie reemplazó la $n$-category $\text{Bord}_n$ descrita arriba por una $(\infty,n)$-categoría con los mismos $k$-morfismos para $k< n$, pero donde:
Usar estas $(\infty,n)$-categorías no es mejor sólo porque la teoría de $(\infty,n)$-categorías generales se desarrolló antes que la de $n$-categorías, sino principalmente porque permiten demostrar la hipótesis del cobordismo por inducción. Lurie expresa la $(\infty,n)$-categoría $\text{Bord}_{(\infty,n)}$ en términos de $\text{Bord}_{(\infty,n-1)}$ describiendo que generadores y relaciones se necesitan agregar a esta última para obtener $\text{Bord}_{(\infty,n)}$. Usando teoría de Morse cualquier cobordismo $n$-dimensional se puede descomponer en una serie de piezas básicas llamadas asas que son los generadores que se necesitan agregar a $\text{Bord}_{(\infty,n-1)}$. Para analizar la relación entre las descomposiciones obtenidas usando diferentes funciones de Morse, Lurie utiliza un teorema de Igusa sobre la conectividad del espacio de funciones de ciertas funciones generalizadas de Morse sobre una variedad.
Dan Freed escribió una excelente introducción a la hipótesis del cobordismo y sus aplicaciones [Freed]D.Freed, The Cobordism hypothesis, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 50 (2013), 57—92.. Desde luego, también se recomienda leer directamente el bosquejo detallado de la demostración que escribió Lurie [LurieCob]J.Lurie, On the classification of topological field theories, Current developments in mathematics, 2008, 129—280, Int. Press, Somerville, MA, 2009.. Éste no solo habla sobre la prueba sino que incluye mucha motivación, variantes de la hipótesis del cobordismo y aplicaciones, y hasta incluye una introducción a la teoría de categorías superiores necesaria para el argumento.
[BaezDolan] Baez, John C. and Dolan, James, Higher-dimensional algebra and topological quantum field theory, J. Math. Phys., 36 (1995), 6073—6105.
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Estudió la licenciatura en matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM donde escribió una tesis sobre matroides bajo la dirección de Jorge Luis Arocha, después hizo una maestría en la Universidad de Toronto donde trabajó en análisis de Fourier de orden superior con Balázs Szegedy, y actualmente estudia el doctorado en Harvard bajó la dirección de Jacob Lurie. Sus principales áreas de interés recientemente han sido la teoría de homotopía y la teoría de categorías superiores.