Explicada: la cohomología

El concepto de cohomología es una de las herramientas principales en la geometría moderna. Sin embargo, la gran mayoría de los estudiantes lo desconoce, aunque todo lo que se necesita para su comprensión son los conocimientos estándares del cálculo integral.

En lo que sigue, solamente consideraremos funciones diferenciables, sin hacer una mención especial de este hecho.

En el cálculo, existen varias fórmulas que permiten reducir la integral sobre una figura geométrica (tal como una curva o una superficie) a la integral sobre la frontera de esta figura. La más sencilla de estas fórmulas es la de Newton-Leibniz: $$\int_a^b (dF/dx)\, dx = F(b)-F(a).$$ Las otras son el teorema de Green: $$\int_{\partial D} F\, dx + G\, dy =\iint_{D}\left(\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}\right)\, dx\, dy,$$

el teorema de Kelvin-Stokes: \begin{multline*} \iint_{\Sigma} \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\, dy\, dz\, + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\, dz\, dx\, + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dx\, dy \\ = \oint_{\partial \Sigma} P\,dx\,+ Q\, dy\, +R\, dz, \end{multline*} y la fórmula de Gauss-Ostrogradsky: $$\iint_{\partial V} P\, dy\, dz\, + Q\, dz\, dx\, + R\, dx\, dy\,= \iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\, dx\, dy\, dz\, ,$$

Existe un lenguaje para describir la integración que permite considerar todas estas igualdades como casos particulares de la misma fórmula. En este lenguaje, la expresión que se integra se llama forma diferencial, y la figura geométrica sobre la que se hace la integración se llama cadena.

La definición de una cadena formaliza la propiedad aditiva de la integral: la integral sobre la unión de dos dominios disjuntos de integración (por ejemplo curvas, superficies) es la suma de las integrales sobre las partes. La idea es que muchas figuras geométricas se pueden subdividir en partes pequeñas, cada una de las cuales se puede parametrizar por un intervalo, cuadrado, o más generalmente, un cubo de dimensión $p$. Las curvas, por ejemplo, se pueden subdividir en segmentos parametrizados por intervalos.

Una cadena de dimensión $p$ en un abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ se define como una combinación lineal formal $\sum k_i\, f_i$ de un número finito de símbolos $f_i$, con coeficientes $k_i\in \mathbb{Z}$, donde cada $f_i$ representa una función continua $f_i: [0,1]^p \to U$. Por ejemplo, una cadena de dimensión 1 es una combinación lineal de segmentos parametrizados en $U$. En este caso, la integral $$\int_{\sum k_i\, f_i} F_1\, dx_1+\ldots + F_n\, dx_n$$ se define como $$\sum k_i \int_{0}^1 \left( F_1(f_i(t))\frac{d f^1_i}{dt}\, +\ldots + F_n(f_i(t))\frac{d f^n_i}{dt}\right)\, dt. $$ Aquí, $f_i^k$ es la $k$-ésima coordenada de $f_i$.

A cada cadena $c$ de dimensión $p$ se le asocia una cadena $\partial c$ de dimensión $p-1$, llamada la frontera de $c$. Cuando $c=f_i$, la frontera $\partial f_i$ es una suma alternante de las restricciones de $f_i$ a todas las caras del cubo $[0,1]^p$: $$\partial f_i = \sum \pm\, \left. f_i\ \right|_{[0,1]^k\, \times\, \tau\, \times\, [0,1]^{p-k-1}},$$ donde $\tau\in \{0,1\}$ y el signo es positivo cuando $k+\tau$ es impar y negativo, en el caso contrario. En el caso general $c=\sum k_i\, f_i$, definimos $\partial c = \sum k_i\, \partial f_i$.

Una cadena $c$ tal que $\partial c=0$ se llama ciclo. Se puede verificar que, para cualquier cadena $c$, se cumple que $\partial(\partial c)=0$; es decir, la frontera de una frontera es cero. Sin embargo, pueden existir ciclos que no son fronteras: esto depende de la forma geométrica del abierto $U$; en particular, de la existencia de agujeros en $U$. Por ejemplo, una curva cerrada produce un ciclo, ya que se puede representar por medio de $f:[0,1]\to U$ con $f(0)=f(1)$ y $\partial f= f(1)-f(0)=0$. Se puede demostrar que el círculo unitario en $U=\mathbb{R}^2 - (0,0)$ no es frontera de ninguna cadena de dimensión 2 en $U$.

Una forma diferencial de grado $p$ en $U\subseteq \mathbb{R}^n$ es una expresión de la forma $$\sum_\alpha F_\alpha(x_1, \ldots x_n)\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p},$$ donde la suma se extiende sobre todas la sucesiones de números naturales $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_p)$ con $1\leq\alpha_1 < \alpha_2 < \ldots < \alpha_p\leq n$. Una forma de grado 0 simplemente es una función definida en $U$.

Será conveniente permitir que $\alpha_k\geq\alpha_{k+1}$ y declarar que el permutar dos símbolos adyacentes $dx_{\alpha_{k}}$ y $dx_{\alpha_{k+1}}$ cambia el signo del término correspondiente. Por ejemplo, $$F(x,y)\, dx\, dy\, = -F(x,y)\, dy\, dx.$$ Esta convención implica que todos los términos que contienen el mismo $dx_{\alpha_i}$ más de una vez son cero, ya que $$dx_{\alpha_i}dx_{\alpha_i} = - dx_{\alpha_i}dx_{\alpha_i}.$$

En particular, usando esta convención, vemos que dos formas diferenciales se pueden multiplicar: $$F\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}\cdot G\, dx_{\beta_1}\ldots dx_{\beta_q} = FG\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}\, dx_{\beta_1}\ldots dx_{\beta_q}.$$ Así, el producto de una forma de grado $p$ y una forma de grado $q$ es una forma de grado $p+q$. Con esta multiplicación, la expresión $F(x_1, \ldots x_n)\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}$ se puede entender como el producto de la forma $F(x_1, \ldots x_n)$ de grado cero y $p$ formas $dx_{\alpha_i}$ de grado 1. Notemos que la multiplicación de formas no es conmutativa, ya que $dx_r\,dx_s=-dx_s\, dx_r$.

A cada forma diferencial $\omega$ de grado $p$, se le asocia una forma $d\omega$ de grado $p+1$, llamada la derivada exterior de $\omega$. Para $\omega = F(x_1, \ldots x_n)\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}$, se define $$d\omega = \left(\frac{\partial F}{\partial x_1}\, dx_1 + \ldots + \frac{\partial F}{\partial x_n}\, dx_n\right)\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}.$$ En particular, la derivada exterior de la función coordenada $x_k$ es $dx_k$. Esta definición se extiende a todas las formas de grado $p$ declarando que la derivada exterior debe ser lineal. Se puede verificar que, para cualquier forma diferencial $\omega$, se cumple que $d(d\omega)=0$.

Ahora, cualquier forma diferencial de grado $p$ en $U\subseteq \mathbb{R}^n$ se puede integrar sobre cualquier cadena de dimensión $p$ en $U$. La integral es aditiva con respecto tanto a la suma de las formas como a la suma de cadenas, así que es suficiente definir la integral de $F(x_1,\ldots,x_n)\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}$ sobre $f:[0,1]^p\to U$: es simplemente la integral iterada $$\int_{[0,1]^p} F(f^1, \ldots f^p)\, df^{\alpha_1}\ldots df^{\alpha_p},$$ donde, como antes, $\, f^k$ es la $k$-ésima componente de $f$.

Todas las fórmulas del cálculo integral que hemos mencionado al prinicipio son casos particulares de la misma fórmula general: $$ \int_{c}d\omega = \int_{\partial c}\omega.$$

Esta fórmula se conoce como el teorema de Stokes (aunque V.I. Arnol'd, peleando, como siempre, por la justicia, la llamaba la$\,$ fórmula de Newton—Leibniz—Green—Gauss—Ostrogradsky—Stokes y Poincaré).

Las formas diferenciales $\omega$ con $d\omega=0$ se llaman formas cerradas; las formas cerradas de tipo $\omega=d\zeta$ se llaman exactas. Una clase de ejemplos de formas cerradas viene de funciones holomorfas. Si $f$ es una función holomorfa en un abierto de $\mathbb{C}$, la forma diferencial compleja $(F+iG)\, dx + (iF-G)\, dy$, donde $F$ y $G$ son las partes real e imaginaria de $f$, respectivamente, es cerrada. La fórmula de Stokes. en este caso, produce el teorema de Cauchy: $$\oint_{\gamma} f\, dz = 0,$$ si $f$ es holomorfa en el dominio delimitado por la curva $\gamma\subset \mathbb{C}$.

En general, gracias al teorema de Stokes, la integral de una forma cerrada sobre un ciclo no cambia bajo las deformaciones del ciclo ni bajo sumarle una forma exacta. Vamos a decir que dos ciclos son homológos si su diferencia es una frontera $c_1 - c_2 = \partial v$. La homología de ciclos es una relación de equivalencia; las clases de equivalencia de ciclos de dimensión $k$ forman un grupo abeliano bajos la suma de ciclos. Este grupo se llama el $k$-ésimo grupo de homología $H_k(U)$ del abierto $U\in \mathbb{R}^n$. De modo similar, decimos que dos formas cerradas de grado $k$ son cohomólogas si su diferencia es una forma exacta: $\omega_1 - \omega_2 = d \zeta$. Esto también es una relación de equivalencia; las clases de cohomología de formas cerradas de grado $k$ forman el $k$-ésimo grupo de cohomología $H^k(U)$. El teorema de Stokes afirma que la integral de una forma cerrada $\omega$ sobre un ciclo $c$ solamente depende de la clase de homología de $c$ y la clase de cohomología de $\omega$.

Resulta que los grupos de homología y cohomología de $U$ son características topológicas muy útiles. En realidad, no sólo se pueden definir para abiertos en $\mathbb{R}^n$, sino para espacios mucho más generales (notemos, por ejemplo, que la definición de los grupos de homología no utliza el hecho de que $U$ es abierto). Se pueden calcular usando métodos combinatorios, juegan un papel importante en varios problemas de análisis y geometría y tienen generalizaciones importantes. Las ramas de las matemáticas donde son de mayor relevancia son la topología algebraica, la geometría algebraica y el álgebra homológica.